數學高考學生教案如何寫？作為一個勤奮的教育工作者，有必要設計教案仔細。編寫教案有助于我們準確把握教材的重點和難點，進而選擇合適的教學方法。下面是小編為大家帶來的，希望大家能夠喜歡！

數學高考學生教案篇1

教學目標

1、明確等差數列的定義。

2、掌握等差數列的通項公式，會解決知道中的三個，求另外一個的問題

3、培養學生觀察、歸納能力。

教學重點

1、等差數列的概念;

2、等差數列的通項公式

教學難點

等差數列“等差”特點的理解、把握和應用

教具準備

投影片1張

教學過程

(I)復習回顧

師：上兩節課我們共同學習了數列的定義及給出數列的兩種方法通項公式和遞推公式。這兩個公式從不同的角度反映數列的特點，下面看一些例子。(放投影片)

(Ⅱ)講授新課

師：看這些數列有什么共同的特點?

1，2，3，4，5，6;①

10，8，6，4，2，…;②

生：積極思考，找上述數列共同特點。

對于數列①(1≤n≤6);(2≤n≤6)

對于數列②—2n(n≥1)(n≥2)

對于數列③(n≥1)(n≥2)

共同特點：從第2項起，第一項與它的前一項的差都等于同一個常數。

師：也就是說，這些數列均具有相鄰兩項之差“相等”的特點。具有這種特點的數列，我們把它叫做等差數。

一、定義：

等差數列：一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與空的前一項的差等于同一個常數，那么這個數列就叫做等差數列，這個常數叫做等差數列的公差，通常用字母d表示。

如：上述3個數列都是等差數列，它們的公差依次是1，—2……

二、等差數列的通項公式

師：等差數列定義是由一數列相鄰兩項之間關系而得。若一等差數列的首項是，公差是d，則據其定義可得：

若將這n—1個等式相加，則可得：

即：即：即：……

由此可得：師：看來，若已知一數列為等差數列，則只要知其首項和公差d，便可求得其通項。

如數列①(1≤n≤6)

數列②：(n≥1)

數列③：(n≥1)

由上述關系還可得：即：則：=如：三、例題講解

例1：(1)求等差數列8，5，2…的第20項

(2)—401是不是等差數列—5，—9，—13…的項?如果是，是第幾項?

解：(1)由n=20，得(2)由得數列通項公式為：由題意可知，本題是要回答是否存在正整數n，使得—401=—5—4(n—1)成立解之得n=100，即—401是這個數列的第100項。

(Ⅲ)課堂練習

生：(口答)課本P118練習3

(書面練習)課本P117練習1

師：組織學生自評練習(同桌討論)

(Ⅳ)課時小結

師：本節主要內容為：①等差數列定義。

即(n≥2)

②等差數列通項公式(n≥1)

推導出公式：(V)課后作業

一、課本P118習題3。21，2

二、1、預習內容：課本P116例2P117例4

2、預習提綱：

①如何應用等差數列的定義及通項公式解決一些相關問題?

②等差數列有哪些性質?

數學高考學生教案篇2

一、預習目標

預習《平面向量應用舉例》，體會向量是一種處理幾何問題、物理問題等的工具，建立實際問題與向量的聯系。

二、預習內容

閱讀課本內容，整理例題，結合向量的運算，解決實際的幾何問題、物理問題。另外，在思考一下幾個問題：

1、例1如果不用向量的方法，還有其他證明方法嗎?

2、利用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”是什么?

3、例3中，

⑴為何值時，|F1|最小，最小值是多少?

⑵|F1|能等于|G|嗎?為什么?

三、提出疑惑

同學們，通過你的自主學習，你還有哪些疑惑，請把它填在下面的表格中疑惑點疑惑內容。

課內探究學案

一、學習內容

1、運用向量的有關知識(向量加減法與向量數量積的運算法則等)解決平面幾何和解析幾何中直線或線段的平行、垂直、相等、夾角和距離等問題。

2、運用向量的有關知識解決簡單的物理問題。

二、學習過程

探究一：

(1)向量運算與幾何中的結論"若，則，且所在直線平行或重合"相類比，你有什么體會?

(2)舉出幾個具有線性運算的幾何實例。

例1、證明：平行四邊形兩條對角線的平方和等于四條邊的平方和。

已知：平行四邊形ABCD。

求證：

試用幾何方法解決這個問題，利用向量的方法解決平面幾何問題的“三步曲”?

(1)建立平面幾何與向量的聯系，

(2)通過向量運算，研究幾何元素之間的關系，

(3)把運算結果“翻譯”成幾何關系。

例2，如圖，平行四邊形ABCD中，點E、F分別是AD、DC邊的中點，BE、BF分別與AC交于R、T兩點，你能發現AR、RT、TC之間的關系嗎?

探究二：兩個人提一個旅行包，夾角越大越費力。在單杠上做引體向上運動，兩臂夾角越小越省力。這些力的問題是怎么回事?

例3，在日常生活中，你是否有這樣的經驗：兩個人共提一個旅行包，夾角越大越費力;在單杠上作引體向上運動，兩臂的夾角越小越省力。你能從數學的角度解釋這種現象嗎?

請同學們結合剛才這個問題，思考下面的問題：

⑴為何值時，|F1|最小，最小值是多少?

⑵|F1|能等于|G|嗎?為什么?

例4如圖，一條河的兩岸平行，河的寬度m，一艘船從A處出發到河對岸。已知船的速度|v1|=10km/h，水流的速度|v2|=2km/h，問行駛航程最短時，所用的時間是多少(精確到0。1min)?

變式訓練：兩個粒子A、B從同一源發射出來，在某一時刻，它們的位移分別為，(1)寫出此時粒子B相對粒子A的位移s;(2)計算s在方向上的投影。

三、反思總結

結合圖形特點，選定正交基底，用坐標表示向量進行運算解決幾何問題，體現幾何問題。

代數化的特點，數形結合的數學思想體現的淋漓盡致。向量作為橋梁工具使得運算簡練標致，又體現了數學的美。有關長方形、正方形、直角三角形等平行、垂直等問題常用此法。

本節主要研究了用向量知識解決平面幾何問題和物理問題;掌握向量法和坐標法，以及用向量解決實際問題的步驟。

數學高考學生教案篇3

教學目標：

1.結合實際問題情景，理解分層抽樣的必要性和重要性;

2.學會用分層抽樣的方法從總體中抽取樣本;

3.并對簡單隨機抽樣、系統抽樣及分層抽樣方法進行比較，揭示其相互關系.

教學重點：

通過實例理解分層抽樣的方法.

教學難點：

分層抽樣的步驟.

教學過程：

一、問題情境

1.復習簡單隨機抽樣、系統抽樣的概念、特征以及適用范圍.

2.實例：某校高一、高二和高三年級分別有學生名，為了了解全校學生的視力情況，從中抽取容量為的樣本，怎樣抽取較為合理?

二、學生活動

能否用簡單隨機抽樣或系統抽樣進行抽樣，為什么?

指出由于不同年級的學生視力狀況有一定的差異，用簡單隨機抽樣或系統抽樣進行抽樣不能準確反映客觀實際，在抽樣時不僅要使每個個體被抽到的機會相等，還要注意總體中個體的層次性.

由于樣本的容量與總體的個體數的比為100∶2500=1∶25，

所以在各年級抽取的個體數依次是，，，即40，32，28.

三、建構數學

1.分層抽樣：當已知總體由差異明顯的幾部分組成時，為了使樣本更客觀地反映總體的情況，常將總體按不同的特點分成層次比較分明的幾部分，然后按各部分在總體中所占的比進行抽樣，這種抽樣叫做分層抽樣，其中所分成的各部分叫“層”.

說明：①分層抽樣時，由于各部分抽取的個體數與這一部分個體數的比等于樣本容量與總體的個體數的比，每一個個體被抽到的可能性都是相等的;

②由于分層抽樣充分利用了我們所掌握的信息，使樣本具有較好的代表性，而且在各層抽樣時可以根據具體情況采取不同的抽樣方法，所以分層抽樣在實踐中有著非常廣泛的應用.

2.三種抽樣方法對照表：

類別

共同點

各自特點

相互聯系

適用范圍

簡單隨機抽樣

抽樣過程中每個個體被抽取的概率是相同的

從總體中逐個抽取

總體中的個體數較少

系統抽樣

將總體均分成幾個部分，按事先確定的規則在各部分抽取

在第一部分抽樣時采用簡單隨機抽樣

總體中的個體數較多

分層抽樣

將總體分成幾層，分層進行抽取

各層抽樣時采用簡單隨機抽樣或系統

總體由差異明顯的幾部分組成

3.分層抽樣的步驟：

(1)分層：將總體按某種特征分成若干部分.

(2)確定比例：計算各層的個體數與總體的個體數的比.

(3)確定各層應抽取的樣本容量.

(4)在每一層進行抽樣(各層分別按簡單隨機抽樣或系統抽樣的方法抽取)，綜合每層抽樣，組成樣本.

四、數學運用

1.例題.

例1(1)分層抽樣中，在每一層進行抽樣可用_________________.

(2)①教育局督學組到學校檢查工作，臨時在每個班各抽調2人參加座談;

②某班期中考試有15人在85分以上，40人在60-84分，1人不及格.現欲從中抽出8人研討進一步改進教和學;

③某班元旦聚會，要產生兩名“幸運者”.

對這三件事，合適的抽樣方法為()

A.分層抽樣，分層抽樣，簡單隨機抽樣

B.系統抽樣，系統抽樣,簡單隨機抽樣

C.分層抽樣，簡單隨機抽樣，簡單隨機抽樣

D.系統抽樣，分層抽樣，簡單隨機抽樣

例2某電視臺在因特網上就觀眾對某一節目的喜愛程度進行調查，參加調查的總人數為12000人，其中持各種態度的人數如表中所示：

很喜愛

喜愛

一般

不喜愛

2435

4567

3926

1072

電視臺為進一步了解觀眾的具體想法和意見，打算從中抽取60人進行更為詳細的調查，應怎樣進行抽樣?

解：抽取人數與總的比是60∶12000=1∶200，

則各層抽取的人數依次是12.175，22.835，19.63，5.36，

取近似值得各層人數分別是12，23，20，5.

然后在各層用簡單隨機抽樣方法抽取.

答用分層抽樣的方法抽取，抽取“很喜愛”、“喜愛”、“一般”、“不喜愛”的人

數分別為12，23，20，5.

說明：各層的抽取數之和應等于樣本容量，對于不能取整數的情況，取其近似值.

(3)某學校有160名教職工，其中教師120名，行政人員16名，后勤人員24名.為了了解教職工對學校在校務公開方面的某意見，擬抽取一個容量為20的樣本.

分析：(1)總體容量較小，用抽簽法或隨機數表法都很方便.

(2)總體容量較大，用抽簽法或隨機數表法都比較麻煩，由于人員沒有明顯差異，且剛好32排，每排人數相同，可用系統抽樣.

(3)由于學校各類人員對這一問題的看法可能差異較大，所以應采用分層抽樣方法.

五、要點歸納與方法小結

本節課學習了以下內容：

1.分層抽樣的概念與特征;

2.三種抽樣方法相互之間的區別與聯系.

數學高考學生教案篇4

教學目標

(1)使學生正確理解組合的意義，正確區分排列、組合問題;

(2)使學生掌握組合數的計算公式;

(3)通過學習組合知識，讓學生掌握類比的學習方法，并提高學生分析問題和解決問題的能力;

教學重點難點

重點是組合的定義、組合數及組合數的公式;

難點是解組合的應用題.

教學過程設計

(-)導入新課

(教師活動)提出下列思考問題，打出字幕.

[字幕]一條鐵路線上有6個火車站，(1)需準備多少種不同的普通客車票?(2)有多少種不同票價的普通客車票?上面問題中，哪一問是排列問題?哪一問是組合問題?

(學生活動)討論并回答.

答案提示：(1)排列;(2)組合.

[評述]問題(1)是從6個火車站中任選兩個，并按一定的順序排列，要求出排法的種數，屬于排列問題;(2)是從6個火車站中任選兩個并成一組，兩站無順序關系，要求出不同的組數，屬于組合問題.這節課著重研究組合問題.

設計意圖：組合與排列所研究的問題幾乎是平行的.上面設計的問題目的是從排列知識中發現并提出新的問題.

(二)新課講授

[提出問題 創設情境]

(教師活動)指導學生帶著問題閱讀課文.

[字幕]1.排列的定義是什么?

2.舉例說明一個組合是什么?

3.一個組合與一個排列有何區別?

(學生活動)閱讀回答.

(教師活動)對照課文，逐一評析.

設計意圖：激活學生的思維，使其將所學的知識遷移過渡，并盡快適應新的環境.

【歸納概括 建立新知】

(教師活動)承接上述問題的回答，展示下面知識.

[字幕]模型：從 個不同元素中取出 個元素并成一組，叫做從 個不同元素中取出 個元素的一個組合.如前面思考題：6個火車站中甲站→乙站和乙站→甲站是票價相同的車票，是從6個元素中取出2個元素的一個組合.

組合數：從 個不同元素中取出 個元素的所有組合的個數，稱之，用符號 表示，如從6個元素中取出2個元素的組合數為 .

[評述]區分一個排列與一個組合的關鍵是：該問題是否與順序有關，當取出元素后，若改變一下順序，就得到一種新的取法，則是排列問題;若改變順序，仍得原來的取法，就是組合問題.

(學生活動)傾聽、思索、記錄.

(教師活動)提出思考問題.

[投影] 與 的關系如何?

(師生活動)共同探討.求從 個不同元素中取出 個元素的排列數 ，可分為以下兩步：

第1步，先求出從這 個不同元素中取出 個元素的組合數為 ;

第2步，求每一個組合中 個元素的全排列數為 .

根據分步計數原理，得到

[字幕]公式1：

公式2：

(學生活動)驗算 ，即一條鐵路上6個火車站有15種不同的票價的普通客車票.

設計意圖：本著以認識概念為起點，以問題為主線，以培養能力為核心的宗旨，逐步展示知識的形成過程，使學生思維層層被激活、逐漸深入到問題當中去.

(三)小結

(師生活動)共同小結.

本節主要內容有

1.組合概念.

2.組合數計算的兩個公式.

(四)布置作業

1.課本作業：習題10 3第1(1)、(4)，3題.

2.思考題：某學習小組有8個同學，從男生中選2人，女生中選1人參加數學、物理、化學三種學科競賽，要求每科均有1人參加，共有180種不同的選法，那么該小組中，男、女同學各有多少人?

3.研究性題：

在 的 邊上除頂點 外有 5個點，在 邊上有 4個點，由這些點(包括 )能組成多少個四邊形?能組成多少個三角形?

(五)課后點評

在學習了排列知識的基礎上，本節課引進了組合概念，并推導出組合數公式，同時調控進行訓練，從而培養學生分析問題、解決問題的能力.

作業參考答案

2.解;設有男同學 人，則有女同學 人，依題意有 ，由此解得 或 或2.即男同學有5人或6人，女同學相應為3人或2人.

3.能組成 (注意不能用 點為頂點)個四邊形， 個三角形.

探究活動

同室四人各寫一張賀年卡，先集中起來，然后每人從中拿一張別人送出的賀年卡，那么四張不同的分配萬式可有多少種?

解 設四人分別為甲、乙、丙、丁，可從多種角度來解.

解法一 可將拿賀卡的情況，按甲分別拿乙、丙、丁制作的賀卡的情形分為三類，即：

甲拿乙制作的賀卡時，則賀卡有3種分配方法.

甲拿丙制作的賀卡時，則賀卡有3種分配方法.

甲拿丁制作的賀卡時，則賀卡有3種分配方法.

由加法原理得，賀卡分配方法有3+3+3=9種.

解法二 可從利用排列數和組合數公式角度來考慮.這時還存在正向與逆向兩種思考途徑.

正向思考，即從滿足題設條件出發，分步完成分配.先可由甲從乙、丙、丁制作的賀卡中選取1張，有 種取法，剩下的乙、丙、丁中所制作賀卡被甲取走后可在剩下的3張賀卡中選取1張，也有 種，最后剩下2人可選取的賀卡即是這2人所制作的賀卡，其取法只有互取對方制作賀卡1種取法.根據乘法原理，賀卡的分配方法有 (種).

逆向思考，即從4人取4張不同賀卡的所有取法中排除不滿足題設條件的取法.不滿足題設條件的取法為，其中只有1人取自己制作的賀卡，其中有2人取自己制作的賀卡，其中有3人取自己制作的賀卡(此時即為4人均拿自己制作的賀卡).其取法分別為 1.故符合題設要求的取法共有 (種).

數學高考學生教案篇5

【考綱要求】

了解雙曲線的定義，幾何圖形和標準方程，知道它的簡單性質。

【自學質疑】

1.雙曲線 的 軸在 軸上， 軸在 軸上，實軸長等于 ，虛軸長等于 ，焦距等于 ，頂點坐標是 ，焦點坐標是 ，

漸近線方程是 ，離心率 ，若點 是雙曲線上的點，則 ， 。

2.又曲線 的左支上一點到左焦點的距離是7，則這點到雙曲線的右焦點的距離是

3.經過兩點 的雙曲線的標準方程是 。

4.雙曲線的漸近線方程是 ，則該雙曲線的離心率等于 。

5.與雙曲線 有公共的漸近線，且經過點 的雙曲線的方程為

【例題精講】

1.雙曲線的離心率等于 ，且與橢圓 有公共焦點，求該雙曲線的方程。

2.已知橢圓具有性質：若 是橢圓 上關于原點對稱的兩個點，點 是橢圓上任意一點，當直線 的斜率都存在，并記為 時，那么 之積是與點 位置無關的定值，試對雙曲線 寫出具有類似特性的性質，并加以證明。

3.設雙曲線 的半焦距為 ，直線 過 兩點，已知原點到直線 的距離為 ，求雙曲線的離心率。

【矯正鞏固】

1.雙曲線 上一點 到一個焦點的距離為 ，則它到另一個焦點的距離為 。

2.與雙曲線 有共同的漸近線，且經過點 的雙曲線的一個焦點到一條漸近線的距離是 。

3.若雙曲線 上一點 到它的右焦點的距離是 ，則點 到 軸的距離是

4.過雙曲線 的左焦點 的直線交雙曲線于 兩點，若 。則這樣的直線一共有 條。

【遷移應用】

1. 已知雙曲線 的焦點到漸近線的距離是其頂點到漸近線距離的2倍，則該雙曲線的離心率

2. 已知雙曲線 的焦點為 ，點 在雙曲線上，且 ，則點 到 軸的距離為 。

3. 雙曲線 的焦距為

4. 已知雙曲線 的一個頂點到它的一條漸近線的距離為 ，則

5. 設 是等腰三角形， ，則以 為焦點且過點 的雙曲線的離心率為 .

6. 已知圓 。以圓 與坐標軸的交點分別作為雙曲線的一個焦點和頂點，則適合上述條件的雙曲線的標準方程為

數學高考學生教案篇6

一、教學內容分析

向量作為工具在數學、物理以及實際生活中都有著廣泛的應用.

本小節的重點是結合向量知識證明數學中直線的平行、垂直問題，以及不等式、三角公式的證明、物理學中的應用.

二、教學目標設計

1、通過利用向量知識解決不等式、三角及物理問題，感悟向量作為一種工具有著廣泛的應用，體會從不同角度去看待一些數學問題，使一些數學知識有機聯系，拓寬解決問題的思路.

2、了解構造法在解題中的運用.

三、教學重點及難點

重點：平面向量知識在各個領域中應用.

難點：向量的構造.

四、教學流程設計

五、教學過程設計

一、復習與回顧

1、提問：下列哪些量是向量?

(1)力 (2)功 (3)位移 (4)力矩

2、上述四個量中，(1)(3)(4)是向量，而(2)不是，那它是什么?

[說明]復習數量積的有關知識.

二、學習新課

例1(書中例5)

向量作為一種工具，不僅在物理學科中有廣泛的應用，同時它在數學學科中也有許多妙用!請看

例2(書中例3)

證法(一)原不等式等價于，由基本不等式知(1)式成立，故原不等式成立.

證法(二)向量法

[說明]本例關鍵引導學生觀察不等式結構特點，構造向量，并發現(等號成立的充要條件是)

例3(書中例4)

[說明]本例的關鍵在于構造單位圓，利用向量數量積的兩個公式得到證明.

二、鞏固練習

1、如圖，某人在靜水中游泳，速度為 km/h.

(1)如果他徑直游向河對岸，水的流速為4 km/h，他實際沿什么方向前進?速度大小為多少?

答案：沿北偏東方向前進，實際速度大小是8 km/h.

(2) 他必須朝哪個方向游才能沿與水流垂直的方向前進?實際前進的速度大小為多少?

答案：朝北偏西方向前進，實際速度大小為km/h.

三、課堂小結

1、向量在物理、數學中有著廣泛的應用.

2、要學會從不同的角度去看一個數學問題，是數學知識有機聯系.

四、作業布置

1、書面作業：課本P73, 練習8.4 4

數學高考學生教案篇7

教學分析

本節課的研究是對初中不等式學習的延續和拓展，也是實數理論的進一步發展.在本節課的學習過程中，將讓學生回憶實數的基本理論，并能用實數的基本理論來比較兩個代數式的大小.

通過本節課的學習， 讓學生從一系列的具體問題情境中，感受到在現實世界和日常生活中存在著大量的不等關系，并充分認識不等關系的存在與應用.對不等關系的相關素材，用數學觀點進行觀察、歸納、抽象，完成量與量的比較過程.即能用不等式或不等式組把這些不等關系表示出來.在本節課的學習過程中還安排了一些簡單的、學生易于處理的問題，其用意在于讓學生注意對數學知識和方法的應用，同時也能激發學生的學習興趣，并由衷地產生用數學工具研究不等關系的愿望.根據本節課的教學內容，應用再現、回憶得出實數的基本理論，并能用實數的基本理論來比較兩個代數式的大小.

在本節教學中，教師可讓學生閱讀書中實例，充分利用數軸這一簡單的數形結合工具，直接用實數與數軸上 點的一一對應關系，從數與形兩方面建立實數的順序關系.要在溫故知新的基礎上提高學生對不等式的認識.

三維目標

1.在學生了解不等式產生的實際背景下，利用數軸回憶實數的基本理論，理解實數的大小關系，理解實數大小與數軸上對應點位置間的關系.

2.會用作差法判斷實數與代數式的大小，會用配方法判斷二次式的大小和范圍.

3.通過溫故知新，提高學生對不等式的認識，激發學生的學習興趣，體會數學的奧秘與數學的結構美.

重點難點

教學重點：比較實數與代數式的大小關系，判斷二次式的大小和范圍.

教學難點：準確比較兩個代數式的大小.

課時安排

1課時

教學過程

導入新課

思路1.(章頭圖導入)通過多媒體展示衛星、飛船和一幅山巒重疊起伏的壯觀畫面，它將學生帶入“橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同”的大自然和浩瀚的宇宙中，使學生在具體情境中感受到不等關系在現實世界和日常生活中是大量存在的，由此產生用數學研究不等關系的強烈愿望，自然地引入新課.

思路2.(情境導入)列舉出學生身體的高矮、身體的輕重、距離學校路程的遠近、百米賽跑的時間、數學成績的多少等現實生活中學生身邊熟悉的事例，描述出某種客觀事物在數量上存在的不等關系.這些不等關系怎樣在數學上表示出來呢?讓學生自由地展開聯想，教師組織不等關系的相關素材，讓學 生用數學的觀點進行觀察、歸納，使學生在具體情境中感受到不等關系與相等關系一樣，在現實世界和日常生活中大量存在著.這樣學生會由衷地產生用數學工具研究不等關系的愿望，從而進入進一步的探究學習，由此引入新課.

推進新課

新知探究

提出問題

?1?回憶初中學過的不等式，讓學生說出“不等關系”與“不等式”的異同.怎樣利用不等式研究及表示不等關系?

?2?在現實世界和日常生活中，既有相等關系，又存在著大量的不等關系.你能舉出一些實際例子嗎?

?3?數軸上的任意兩 點與對應的兩實數具有怎樣的關系?

?4?任意兩個實數具有怎樣的關系?用邏輯用語怎樣表達這個關系?

活動：教師引導學生回憶初中學過的不等式概念，使學生明確“不等關系”與“不等式”的異同.不等關系強調的是關系，可用符號“>”“<”“≠”“≥”“≤”表示，而不等式則是表示兩者的不等關系，可用“a>b”“a

教師與學生一起舉出我們日常生活中不等關系的例子，可讓學生充分合作討論，使學生感受到現實世界中存在著大量的不等關系.在學生了解了一些不等式產生的實際背景的前提下，進一步學習不等式的有關內容.

實例1：某天的天氣預報報道，氣溫32 ℃，最低氣溫26 ℃.

實例2：對于數軸上任意不同的兩點A、B，若點A在點B的左邊，則xA

實例3：若一個數是非負數，則這個數大于或等于零.

實例4：兩點之間線段最短.

實例5：三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊.

實例6：限速40 km/h的路標指示司機在前方路段行駛時，應使汽車的速度v不超過40 km/h.

實例7：某品牌酸奶的質量檢查規定，酸奶中脂肪的含量f應不少于2.5%，蛋白質的含量p應不少于2.3%.

教師進一步點撥：能夠發現身 邊的數學當然很好，這說明同學們已經走進了數學這門學科，但作為我們研究數學的人來說，能用數學的眼光、數學的觀點進行觀察、歸納、抽象，完成這些量與量的比較過程，這是我們每個研究數學的人必須要做的，那么，我們可以用我們所研究過的什么知識來表示這些不等關系呢?學生很容易想到，用不等式或不等式組來表示這些不等關系.那么不等式就是用不等號將兩個代數式連結起來所成的式子.如-7<-5，3+4>1+4,2x≤6，a+2≥0,3≠4,0≤5等.

教師引導學生將上述的7個實例用不等式表示出來.實例1，若用t表示某天的氣溫，則26 ℃≤t≤32 ℃.實例3，若用x表示一個非負數，則x≥0.實例5，|AC|+|BC|>|AB|，如下圖.

|AB|+|BC|>|AC|、|AC|+|BC|>|AB|、|AB|+|AC|>|BC|.

|AB|-|BC|<|AC|、|AC|-|BC|<|AB|、|AB|-|AC|<|BC|.交換被減數與減數的位置也可以.

實例6，若用v表示速度，則v≤40 km/h.實例7，f≥2.5%，p≥2.3%.對于實例7，教師應點撥學生注意酸奶中的脂肪含量與蛋白質含量需同時滿足，避免寫成f≥2.5%或p≥2.3%，這是不對的.但可表示為f≥2.5%且p≥2.3%.

對以上問題，教師讓學生輪流回答，再用投影儀給出課本上的兩個結論.

討論結果：

(1)(2)略;(3)數軸上任意兩點中，右邊點對應的實數比左邊點對應的實數大.

(4)對于任意兩個實數a和b，在a=b，a>b，a應用示例

例1(教材本節例1和例2)

活動：通過兩例讓學生熟悉兩個代數式的大小比較的基本方法：作差，配方法.

點評：本節兩例的求解，是借助因式分解和應用配方法完成的，這兩種方法是代數式變形時經常使用的方法，應讓學生熟練掌握.

變式訓練

1.若f(x)=3x2-x+1，g(x)=2x2+x-1，則f(x)與g(x)的大小關系是(　　)

A.f(x)>g(x)　　　　　　 B.f(x)=g(x)

C.f(x)

答案：A

解析：f(x)-g(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1≥1>0，∴f(x)>g(x).

2.已知x≠0，比較(x2+1)2與x4+x2+1的大小.

解：由(x2+1)2-(x4+x2+1)=x4+2x2+1-x4-x2-1=x2.

∵x≠0，得x2>0.從而(x2+1)2>x4+x2+1.

例2比較下列各組數的大小(a≠b).

(1)a+b2與21a+1b(a>0，b>0);

(2)a4-b4與4a3(a-b).

活動：比較兩個實數的大小，常根據實數的運算性質與大小順序的關系，歸結為判斷它們的差的符號來確定.本例可由學生獨立完成，但要點撥學生在最后的符號判斷說理中，要理由充分，不可忽略這點.

解：(1)a+b2-21a+1b=a+b2-2aba+b=?a+b?2-4ab2?a+b?=?a-b?22?a+b?.

∵a>0，b>0且a≠b，∴a+b>0，(a-b)2>0.∴?a-b?22?a+b?>0，即a+b2>21a+1b.

(2)a4-b4-4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2)-4a3(a-b)

=(a-b)(a3+a2b+ab2+b3-4a3)=(a-b)[(a2b-a3)+(ab2-a3)+(b3-a3)]

=-(a-b)2(3a2+2ab+b2)=-(a-b)2[2a2+(a+b)2].

∵2a2+(a+b)2≥0(當且僅當a=b=0時取等號)，

又a≠b，∴(a-b)2>0,2a2+(a+b)2>0.∴-(a-b)2[2a2+(a+b)2]<0.

∴a4-b4<4a3(a-b).

點評：比較大小常用作差法，一般步驟是作差——變形——判斷符號.變形常用的手段是分解因式和配方，前者將“差”變為“積”，后者將“差”化為一個或幾個完全平方式的“和”，也可兩者并用.

變式訓練

已知x>y，且y≠0，比較xy與1的大小.

活動：要比較任意兩個數或式的大小關系，只需確定它們的差與0的大小關系.

解：xy-1=x-yy.

∵x>y，∴x-y>0.

當y<0時，x-yy<0，即xy-1<0. ∴xy<1;

當y>0時，x-yy>0，即xy-1>0.∴xy>1.

點評：當字母y取不同范圍的值時，差xy-1的正負情況不同，所以需對y分類討論.

例3建筑設計規定，民用住宅的窗戶面積必須小于地板面積.但按采光標準，窗戶面積與地板面積的比值應不小于10%，且這個比值越大，住宅的采光條件越好.試問：同時增加相等的窗戶面積和地板面積， 住宅的采光條件是變好了，還是變壞了?請說明理由.

活動：解題關鍵首先是把文 字語言轉換成數學語言，然后比較前后比值的大小，采用作差法.

解：設住宅窗戶面積和地板面積分別為a、b，同時增加的面積為m，根據問題的要求a

由于a+mb+m-ab=m?b-a?b?b+m?>0，于是a+mb+m>ab.又ab≥10%，

因此a+mb+m>ab≥10%.

所以同時增加相等的窗戶面積和地板面積后，住宅的采光條件變好了.

點評：一般地，設a、b為正實數，且a

變式訓練

已知a1，a2，…為各項都大于零的等比數列，公比q≠1，則(　　)

A.a1+a8>a4+a5　　　　　　　 B.a1+a8

C.a1+a8=a4+a5 D.a1+a8與a4+a5大小不確定

答案：A

解析：(a1+a8)-(a4+a5)=a1+a1q7-a1q3-a1q4

=a1[(1-q3)-q4(1-q3)]=a1(1-q)2(1+q+q2)(1+q)(1+q2).

∵{an}各項都大于零，∴q>0，即1+q>0.

又∵q≠1，∴(a1+a8)-(a4+a5)>0，即a1+a8>a4+a5.

課堂小結

1.教師與學生共同完成本節課的小結，從實數的基本性質的回顧，到兩個實數大小的比較方法;從例題的活動探究點評，到緊跟著的變式訓練，讓學生去繁就簡，聯系舊知，將本節課所學納入已有的知識體系中.

2.教師畫龍點睛，點撥利用實數的基本性質對兩個實數大小比較時易錯的地方.鼓勵學有余力的學生對節末的思考與討論在課后作進一步的探究.

作業

習題3—1A組3;習題3—1B組2.

設計感想

1.本節設計關注了教學方法 的優化.經驗告訴我們：課堂上應根據具體情況，選擇、設計最能體現教學規律的教學 過程，不宜長期使用一種固定的教學方法，或原封不動地照搬一種實驗模式.各種教學方法中，沒有一種能很好地適應一切教學活動.也就是說，世上沒有萬能的教學方法.針對個性，靈活變化，因材施教才是成功的施教靈藥.

2.本節設計注重了難度控制.不等式內容應用面廣，可以說與其他所有內容都有交匯，歷 來是高考的重點與熱點.作為本章開始，可以適當開闊一些，算作拋磚引玉，讓學生有個自由探究聯想的平臺，但不宜過多向外拓展，以免對學生產生負面影響.

3.本節設計關注了學生思維能力的訓練.訓練學生的思維能力，提升思維的品質，是數學教師直面的重要課題，也是中學數學教育的主線.采用一題多解有助于思維的發散性及靈活性，克服思維的僵化.變式訓練教學又可以拓展學生思維視野的廣度，解題后的點撥反思有助于學生思維批判性品質的提升.