教案可以幫助教師明確教學目標和內容，以便更好地組織教學，確保教學內容的準確性和有效性。寫好高考數學教案大全要注意什么？小編給大家分享高考數學教案大全，希望對大家有所幫助。

高考數學教案大全篇1

教材分析

?教材地位及作用本節課是高中數學3(必修)第三章概率的第二節古典概型的第一課時，是在隨機事件的概率之后，幾何概型之前，尚未學習排列組合的情況下教學的。古典概型是一種特殊的數學模型，也是一種最基本的概率模型，在概率論中占有相當重要的地位。

學好古典概型可以為其它概率的學習奠定基礎，同時有利于理解概率的概念，有利于計算一些事件的概率，有利于解釋生活中的一些問題。?教學重點理解古典概型的概念及利用古典概型求解隨機事件的概率。根據本節課的地位和作用以及新課程標準的具體要求，制訂教學重點。教學難點如何判斷一個試驗是否是古典概型，分清在一個古典概型中某隨機事件包含的基本事件的個數和試驗中基本事件的總數。根據本節課的內容，即尚未學習排列組合，以及學生的心理特點和認知水平，制定了教學難點。教

目標1.知識與技能

(1)理解古典概型及其概率計算公式，

(2)會用列舉法計算一些隨機事件所含的基本事件數及事件發生的概率。

2.過程與方法

根據本節課的內容和學生的實際水平，通過模擬試驗讓學生理解古典概型的特征：試驗結果的有限性和每一個試驗結果出現的等可能性，觀察類比各個試驗，歸納總結出古典概型的概率計算公式，體現了化歸的重要思想，掌握列舉法，學會運用數形結合、分類討論的思想解決概率的計算問題。

3.情感態度與價值觀

概率教學的核心問題是讓學生了解隨機現象與概率的意義，加強與實際生活的聯系，以科學的態度評價身邊的一些隨機現象。適當地增加學生合作學習交流的機會，盡量地讓學生自己舉出生活和學習中與古典概型有關的實例。使得學生在體會概率意義的同時，感受與他人合作的重要性以及初步形成實事求是地科學態度和鍥而不舍的求學精神。根據新課程標準，并結合學生心理發展的需求，以及人格、情感、價值觀的具體要求制訂而成。這對激發學生學好數學概念，養成數學習慣，感受數學思想，提高數學能力起到了積極的作用。?

項目內容師生活動理論依據或意圖 

過程分析一

提出問題引入新課在課前，教師布置任務，以數學小組為單位，完成下面兩個模擬試驗：

試驗一：拋擲一枚質地均勻的硬幣，分別記錄“正面朝上”和“反面朝上”的次數，要求每個數學小組至少完成20次(最好是整十數)，最后由科代表匯總;

試驗二：拋擲一枚質地均勻的骰子，分別記錄“1點”、“2點”、“3點”、“4點”、“5點”和“6點”的次數，要求每個數學小組至少完成60次(最好是整十數)，最后由科代表匯總。

在課上，學生展示模擬試驗的操作方法和試驗結果，并與同學交流活動感受。

教師最后匯總方法、結果和感受，并提出問題?

1.用模擬試驗的方法來求某一隨機事件的概率好不好?為什么?

不好，要求出某一隨機事件的概率，需要進行大量的試驗，并且求出來的結果是頻率，而不是概率。

2.根據以前的學習，上述兩個模擬試驗的每個結果之間都有什么特點?學生展示模擬試驗的操作方法和試驗結果，并與同學交流活動感受，教師最后匯總方法、結果和感受，并提出問題。通過課前的模擬實驗的展示，讓學生感受與他人合作的重要性，培養學生運用數學語言的能力。隨著新問題的提出，激發了學生的求知欲望，通過觀察對比，培養了學生發現問題的能力。

二思考交流形成概念

在試驗一中隨機事件只有兩個，即“正面朝上”和“反面朝上”，并且他們都是互斥的，由于硬幣質地是均勻的，因此出現兩種隨機事件的可能性相等，即它們的概率都是;

在試驗二中隨機事件有六個，即“1點”、“2點”、“3點”、“4點”、“5點”和“6點”，并且他們都是互斥的，由于骰子質地是均勻的，因此出現六種隨機事件的可能性相等，即它們的概率都是。

我們把上述試驗中的隨機事件稱為基本事件，它是試驗的每一個可能結果。

基本事件有如下的兩個特點：

(1)任何兩個基本事件是互斥的;

(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和。

特點(2)的理解：在試驗一中，必然事件由基本事件“正面朝上”和“反面朝上”組成;在試驗二中，隨機事件“出現偶數點”可以由基本事件“2點”、“4點”和“6點”共同組成。學生觀察對比得出兩個模擬試驗的相同點和不同點，教師給出基本事件的概念，并對相關特點加以說明，加深新概念的理解。讓學生從問題的相同點和不同點中找出研究對象的對立統一面，這能培養學生分析問題的能力，同時也教會學生運用對立統一的辯證唯物主義觀點來分析問題的一種方法。

教師的注解可以使學生更好的把握問題的關鍵。項目內?容師生活動理論依據或意圖教

過程分析

二思考交流形成概念例1從字母中任意取出兩個不同字母的試驗中，有哪些基本事件?

分析：為了解基本事件，我們可以按照字典排序的順序，把所有可能的結果都列出來。利用樹狀圖可以將它們之間的關系列出來。

我們一般用列舉法列出所有基本事件的結果，畫樹狀圖是列舉法的基本方法，一般分布完成的結果(兩步以上)可以用樹狀圖進行列舉。

(樹狀圖)

解：所求的基本事件共有6個：

，，，

，，

觀察對比，發現兩個模擬試驗和例1的共同特點：

試驗一中所有可能出現的基本事件有“正面朝上”和“反面朝上”2個，并且每個基本事件出現的可能性相等，都是;

試驗二中所有可能出現的基本事件有“1點”、“2點”、“3點”、“4點”、“5點”和“6點”6個，并且每個基本事件出現的可能性相等，都是;

例1中所有可能出現的基本事件有“A”、“B”、“C”、“D”、“E”和“F”6個，并且每個基本事件出現的可能性相等，都是;

經概括總結后得到：

(1)試驗中所有可能出現的基本事件只有有限個;(有限性)

(2)每個基本事件出現的可能性相等。(等可能性)

我們將具有這兩個特點的概率模型稱為古典概率概型，簡稱古典概型。

思考交流：

(1)向一個圓面內隨機地投射一個點，如果該點落在圓內任意一點都是等可能的，你認為這是古典概型嗎?為什么?

先讓學生嘗試著列出所有的基本事件，教師再講解用樹狀圖列舉問題的優點。

讓學生先觀察對比，找出兩個模擬試驗和例1的共同特點，再概括總結得到的結論，教師最后補充說明。

學生互相交流，回答補充，教師歸納。將數形結合和分類討論的思想滲透到具體問題中來。由于沒有學習排列組合，因此用列舉法列舉基本事件的個數，不僅能讓學生直觀的感受到對象的總數，而且還能使學生在列舉的時候作到不重不漏。解決了求古典概型中基本事件總數這一難點。

培養運用從具體到抽象、從特殊到一般的辯證唯物主義觀點分析問題的能力，充分體現了數學的化歸思想。啟發誘導的同時，訓練了學生觀察和概括歸納的能力。通過用表格列出相同和不同點，能讓學生很好的理解古典概型。從而突出了古典概型這一重點。

兩個問題的設計是為了讓學生更加準確的把握古典概型的兩個特點。突破了如何判斷一個試驗是否是古典概型這一教學難點。項目內容師生活動理論依據或意圖教

過程分析思考交流形成概念答：不是古典概型，因為試驗的所有可能結果是圓面內所有的點，試驗的所有可能結果數是無限的，雖然每一個試驗結果出現的“可能性相同”，但這個試驗不滿足古典概型的第一個條件。

(2)如圖，某同學隨機地向一靶心進行射擊，這一試驗的結果只有有限個：命中10環、命中9環……命中5環和不中環。你認為這是古典概型嗎?為什么?

答：不是古典概型，因為試驗的所有可能結果只有7個，而命中10環、命中9環……命中5環和不中環的出現不是等可能的，即不滿足古典概型的第二個條件。??三

觀察分析推導方程問題思考：在古典概型下，基本事件出現的概率是多少?隨機事件出現的概率如何計算?

分析：

實驗一中，出現正面朝上的概率與反面朝上的概率相等，即

P(“正面朝上”)=P(“反面朝上”)

由概率的加法公式，得

P(“正面朝上”)+P(“反面朝上”)=P(必然事件)=1

因此P(“正面朝上”)=P(“反面朝上”)=

即試驗二中，出現各個點的概率相等，即

P(“1點”)=P(“2點”)=P(“3點”)

=P(“4點”)=P(“5點”)=P(“6點”)

反復利用概率的加法公式，我們有

P(“1點”)+P(“2點”)+P(“3點”)+P(“4點”)+P(“5點”)+P(“6點”)=P(必然事件)=1

所以P(“1點”)=P(“2點”)=P(“3點”)

=P(“4點”)=P(“5點”)=P(“6點”)=

進一步地，利用加法公式還可以計算這個試驗中任何一個事件的概率，例如，

P(“出現偶數點”)=P(“2點”)+P(“4點”)+P(“6點”)=++==

即根據上述兩則模擬試驗，可以概括總結出，古典概型計算任何事件的概率計算公式為：

教師提出問題，引導學生類比分析兩個模擬試驗和例1的概率，先通過用概率加法公式求出隨機事件的概率，再對比概率結果，發現其中的聯系。鼓勵學生運用觀察類比和從具體到抽象、從特殊到一般的辯證唯物主義方法來分析問題，同時讓學生感受數學化歸思想的優越性和這一做法的合理性，突出了古典概型的概率計算公式這一重點。

高考數學教案大全篇2

教學目標：(1)理解古典概型及其概率計算公式，

(2)會用列舉法計算一些隨機事件所含的基本事件數及事件發生的概率。

教學重點：理解古典概型的概念及利用古典概型求解隨機事件的概率.

教學難點：如何判斷一個試驗是否是古典概型，分清在一個古典概型中某隨機事件包含的基本事件的個數和試驗中基本事件的總數.

教學過程：

導入：故事引入

探究一

試驗：

(1)擲一枚質地均勻的硬幣的試驗

(2)擲一枚質地均勻的骰子的試驗

上述兩個試驗的所有結果是什么?

一.基本事件

1.基本事件的定義：

隨機試驗中可能出現的每一個結果稱為一個基本事件

2.基本事件的特點：

(1)任何兩個基本事件是互斥的

(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和。

例1、從字母a，b，c，d中任意取出兩個不同的字母的試驗中，有幾個基本事件?分別是什么?

探究二：你能從上面的兩個試驗和例題1發現它們的共同特點嗎?

二.古典概型

(1)試驗中所有可能出現的基本事件只有有限個;(有限性)

(2)每個基本事件出現的可能性相等。(等可能性)

我們將具有這兩個特點的概率模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型。

思考：判斷下列試驗是否為古典概型?為什么?

(1).從所有整數中任取一個數

(2).向一個圓面內隨機地投一個點，如果該點落在圓面內任意一點都是等可能的。

(3).射擊運動員向一靶心進行射擊，這一試驗的結果只有有限個，命中10環，命中9環，….命中1環和命中0環(即不命中)。

(4).有紅心1，2，3和黑桃4，5共5張撲克牌，將其牌點向下置于桌上，現從中任意抽取一張.

高考數學教案大全篇3

教學目標：

1.理解流程圖的選擇結構這種基本邏輯結構.

2.能識別和理解簡單的框圖的功能.

3.能運用三種基本邏輯結構設計流程圖以解決簡單的問題.

教學方法：

1.通過模仿、操作、探索，經歷設計流程圖表達求解問題的過程，加深對流程圖的感知.

2.在具體問題的解決過程中，掌握基本的流程圖的畫法和流程圖的三種基本邏輯結構.

教學過程：

一、問題情境

1.情境：

某鐵路客運部門規定甲、乙兩地之間旅客托運行李的費用為

其中(單位：)為行李的重量.

試給出計算費用(單位：元)的一個算法，并畫出流程圖.

二、學生活動

學生討論，教師引導學生進行表達.

解算法為：

輸入行李的重量;

如果，那么，

否則;

輸出行李的重量和運費.

上述算法可以用流程圖表示為：

教師邊講解邊畫出第10頁圖1-2-6.

在上述計費過程中，第二步進行了判斷.

三、建構數學

1.選擇結構的概念：

先根據條件作出判斷，再決定執行哪一種

操作的結構稱為選擇結構.

如圖：虛線框內是一個選擇結構，它包含一個判斷框，當條件成立(或稱條件為“真”)時執行，否則執行.

2.說明：(1)有些問題需要按給定的條件進行分析、比較和判斷，并按判

斷的不同情況進行不同的操作，這類問題的實現就要用到選擇結構的設計;

(2)選擇結構也稱為分支結構或選取結構，它要先根據指定的條件進行判斷，再由判斷的結果決定執行兩條分支路徑中的某一條;

(3)在上圖的選擇結構中，只能執行和之一，不可能既執行，又執

行，但或兩個框中可以有一個是空的，即不執行任何操作;

(4)流程圖圖框的形狀要規范，判斷框必須畫成菱形，它有一個進入點和

兩個退出點.

3.思考：教材第7頁圖所示的算法中，哪一步進行了判斷?

高考數學教案大全篇4

一、教學目標

1.知識與技能

(1)掌握畫三視圖的基本技能

(2)豐富學生的空間想象力

2.過程與方法

主要通過學生自己的親身實踐，動手作圖，體會三視圖的作用。

3.情感態度與價值觀

(1)提高學生空間想象力

(2)體會三視圖的作用

二、教學重點、難點

重點：畫出簡單組合體的三視圖

難點：識別三視圖所表示的空間幾何體

三、學法與教學用具

1.學法：觀察、動手實踐、討論、類比

2.教學用具：實物模型、三角板

四、教學思路

(一)創設情景，揭開課題

“橫看成嶺側看成峰”，這說明從不同的角度看同一物體視覺的效果可能不同，要比較真實反映出物體，我們可從多角度觀看物體，這堂課我們主要學習空間幾何體的三視圖。

在初中，我們已經學習了正方體、長方體、圓柱、圓錐、球的三視圖(正視圖、側視圖、俯視圖)，你能畫出空間幾何體的三視圖嗎?

(二)實踐動手作圖

1.講臺上放球、長方體實物，要求學生畫出它們的三視圖，教師巡視，學生畫完后可交流結果并討論;

2.教師引導學生用類比方法畫出簡單組合體的三視圖

(1)畫出球放在長方體上的三視圖

(2)畫出礦泉水瓶(實物放在桌面上)的三視圖

學生畫完后，可把自己的作品展示并與同學交流，總結自己的作圖心得。

作三視圖之前應當細心觀察，認識了它的基本結構特征后，再動手作圖。

3.三視圖與幾何體之間的相互轉化。

(1)投影出示圖片(課本P10，圖1.2-3)

請同學們思考圖中的三視圖表示的幾何體是什么?

(2)你能畫出圓臺的三視圖嗎?

(3)三視圖對于認識空間幾何體有何作用?你有何體會?

教師巡視指導，解答學生在學習中遇到的困難，然后讓學生發表對上述問題的看法。

4.請同學們畫出1.2-4中其他物體表示的空間幾何體的三視圖，并與其他同學交流。

(三)鞏固練習

課本P12練習1、2P18習題1.2A組1

(四)歸納整理

請學生回顧發表如何作好空間幾何體的三視圖

(五)課外練習

1.自己動手制作一個底面是正方形，側面是全等的三角形的棱錐模型，并畫出它的三視圖。

2.自己制作一個上、下底面都是相似的正三角形，側面是全等的等腰梯形的棱臺模型，并畫出它的三視圖。

高考數學教案大全篇5

“隨機抽樣”教學設計及反思

浙江省杭州市余杭高級中學吳寅靜

統計和概率的基礎知識是一個未來公民的必備常識①，它是中小學數學課程的重要內容.

在高中階段，統計的學習從《必修3》第二章開始，本節課是開篇.好的開端等于成功的一半，因此本課很重要.筆者有幸承擔本次課題會研究課的教學任務，在接受專家、同行的點評和指導中，對高中階段的統計教學有了更深的認識.

下面分教學準備、教學設計和教后反思與大家共享我的心得.

教學準備

接到任務后，筆者首先查閱了一些統計論著.可惜，統計專業知識介紹的書籍多，統計教學的論著少之又少.這也從一個側面反映了我國對中學統計教學研究的不足.

一、教什么

起始課究竟上什么內容?筆者征詢了同事們的意見，絕大多數人認為，由于義教階段學生對全面調查、抽樣調查、樣本、樣本容量等概念都已很熟悉，沒必要再糾纏.因此，第一堂課除了簡單介紹本章學習內容以及隨機抽樣的必要性和重要性外，應將“2.1.1簡單隨機抽樣”作為重點，這樣整堂課就比較充實，不至于沒有內容可講.也有人認為，《教師教學用書》建議“2.1隨機抽樣”約為5課時，因此第一課時應只介紹隨機抽樣而不必涉及抽樣方法.

筆者在聽取了這些建議，經過再三思考后，決定把本課的教學內容定位于章引言和“隨機抽樣”的開篇，但不涉及具體抽樣方法.理由如下：

1.章引言是整章內容的概括和介紹，既有先行組織者的作用，同時也能以此引出本課需要學習的內容.作為起始課，章引言的作用不可忽略.

2.雖然學生在小學、初中都學過統計，但對為什么要隨機抽樣，怎么進行隨機抽樣等的認識還不足.

3.作為統計的起始課，更重要的是讓學生通過一些具體的實例感受隨機抽樣的必要性和重要性，而不是介紹一些具體的抽樣方法.

二、怎么教

上述內容定位對教師提出的最大挑戰就是如何尋找合適的素材，這個素材既要貼近學生的生活，又能讓學生比較容易地參與到抽樣活動中，在活動中體會隨機抽樣.幾經選擇后，筆者從教材中近視率的背景圖中得到啟發，設置了一系列關于調查學生近視率的問題串，以此開展整堂課的教學.整個教學過程分解為以下幾個部分：

1.通過章頭圖提供的信息讓學生感受數據，提出質疑即：這些數據是怎么來的?

2.讓學生調查班級的近視率，感受普查的作用.

3.通過調查年級和全市高一學生的近視率，感受抽樣調查的必要性，感受如何才能使樣本具有代表性.

4.在小組討論和師生交流中體會統計結果的不確定性.

5.在小結中結合章頭圖進行總結回顧，引出本章的知識框架.

?教學設計

一、內容和內容解析

1.內容

本課主要內容是讓學生了解：認識客觀現象的第一步就是通過觀察或試驗取得觀測資料，然后分析這些資料來認識此現象.獲取有代表性的觀測資料并正確地加以分析是正確認識未知現象的基礎，也是統計所研究的基本問題.

2.內容解析

本課是高中統計的第一節課，統計是研究如何合理收集、整理、分析數據的學科，它可以為人們制定決策提供依據.學生在義教階段已學了收集、整理、描述和分析數據等處理數據的基本方法.高中的統計學習將逐步讓學生體會確定性思維與統計思維的差異，了解統計結果的隨機性特征，知道統計推斷可能出錯.統計有兩種：一種是把所有個體的信息都收集起來，然后進行描述，這種統計方法稱為描述性統計，例如人口普查.但在很多情況下我們無法采用描述性統計對所有個體進行調查，通常是在總體中抽取一定的樣本為代表，從樣本的信息來推斷總體的特征，這稱為推斷性統計.例如有的產品數量非常大，或者質量檢查具有破壞性.

抽樣調查是收集數據的一種重要途徑，是一種重要的、科學的非全面調查方法.它根據調查的目的和任務要求，按照隨機原則，從若干單位組成的事物總體中，抽取部分樣本單位來進行調查、觀察，用樣本數據來推斷總體.其中蘊涵了重要的統計思想——樣本估計總體.而樣本代表性的好壞直接影響統計結論的準確性，所以抽樣過程中，考慮的最主要原則是保證樣本能很好地代表總體.而隨機抽樣的出發點是使每個個體都有相同的機會被抽中，這是基于對樣本數據代表性的考慮.

本節課重點：能從現實生活或其他學科中提出具有一定價值的統計問題，理解隨機抽樣的必要性與重要性.

二、目標和目標解析

1.目標

(1)通過具體案例的分析，逐步學會從現實生活中提出具有一定價值的統計問題;

(2)結合實際問題情境，理解隨機抽樣的必要性和重要性，深刻理解樣本的代表性.

2.目標解析

章引言列舉了我國水資源缺乏問題、土地沙漠化問題等情境，提出了學習統計的意義.通過具體實例，引導學生嘗試從實際問題中發現并提出統計問題.以培養學生從現實生活或其他學科中發現問題、提出問題的能力、意識和習慣.

對某個問題的調查最簡單的方法就是普查，但是這種方法的局限性很大.出于費用和時間的考慮，有時一個精心設計的抽樣方案，其實施效果甚至可以勝過普查.教學中要通過一定實例讓學生體會隨機抽樣的必要性和重要性.為了使由樣本到總體的推斷有效，樣本必須是總體的代表.在對實例的分析過程中，探討獲取有代表性的樣本的方法，得到隨機樣本的概念，逐步理解樣本的代表性與統計推斷結論可靠性之間的關系.

三、教學問題診斷分析

學生在初中已有對統計活動的認識，并學習了統計圖表、收集數據的方法，但對設計合理的抽樣方法，以使樣本具有好的代表性的意識還不強.在已有學習中，學習內容多以確定性數學為主;學生對全面調查，即普查有所了解，它在經驗上更接近確定性數學;這里，我們要通過具體問題，讓學生體會統計的重要思想——用樣本估計總體以及統計結果的不確定性.因此，學生已有知識經驗與本節要達成的教學目標之間有較大差距.主要的困難有：對樣本估計總體的思想、對統計結果的“不確定性”產生懷疑，對統計的科學性有所質疑;對抽樣應該具有隨機性，每個樣本的抽取又都落實在某個人的具體操作上不理解，因此教學中要通過具體實例的研究給學生釋疑.

教學中，可以鼓勵學生從自己的生活中提出與典型案例類似的統計問題，如每天完成家庭作業所需的時間，每天的體育鍛煉時間，學生的近視率，一批燈泡的壽命等.在學生提出這些問題后，要引導學生考慮問題中的總體是什么，要觀測的變量是什么，如何獲取樣本等，這樣可以培養學生提出統計問題的能力.

因此，本課的教學難點是：理解怎樣的抽樣才是隨機抽樣，如何抽樣才能更好地代表總體.

四、教學支持條件分析

準備一些隨機抽樣成功或失敗的事例，利用實物投影或放映的多媒體設備輔助教學.

五、教學過程設計

(一)感悟數據、引入課題

問題1：請同學們看章頭圖中的有關沙漠化和缺水量的數據，你有什么感受?

師生活動：讓學生充分思考和探討，并逐步引導學生產生質疑：這些數據是怎么來的?

設計意圖：通過一些數據讓學生充分感受我們生活在一個數字化時代，要學會與數據打交道，養成對數據產生的背景進行思考的習慣.

問題2：我們班級有很多同學都是戴眼鏡的，你知道我們班的近視率嗎?你是怎么知道的?

設計意圖：通過與學生比較貼近的案例，讓他們體會統計與日常生活的關系.

(二)操作實踐、展開課題

問題3：如果我想了解我校所有高一學生的近視率，你打算怎么做呢?

師生活動：以四人小組為單位進行討論，每個小組派一個代表匯報方案.

設計意圖：從這個問題中引出抽樣調查和樣本的概念，使學生對于如何產生樣本進行一定的思考，同時也使學生認識到樣本選擇的好壞對于用樣本估計總體的精確度是有所不同的.

問題4：你認為下列預測結果出錯的原因是什么?

在1936年美國總統選舉前，一份頗有名氣的雜志(LiteraryDigest)的工作人員做了一次民意測驗.調查蘭頓(A.Landon)(當時任堪薩斯州州長)和羅斯福(F.D.Roosevelt)(當時的總統)中誰將當選下一屆總統.為了了解公眾意向，調查者通過電話簿和車量登記簿上的名單給一大批人發了調查表(注意在1936年電話和汽車只有少數富人擁有).通過分析收回的調查表，顯示蘭頓非常受歡迎，于是雜志預測蘭頓將在選舉中獲勝.實際選舉結果正好相反，最后羅斯福在選舉中獲勝，其數據如下：

?

設計意圖：通過案例讓學生進一步體會到：在抽樣調查中，樣本的選擇是至關重要的，樣本能否代表總體，直接影響著統計結果的可靠性.

問題5：如果要調查下面這幾個問題，你認為應該作全面調查還是抽樣調查?大家對普查和抽樣調查是怎么看的?普查一定好嗎?請舉例.

(1)了解全班同學每周的體育鍛煉時間;

(2)調查市場上某個品牌牛奶的含鈣量;

(3)了解一批日光燈的使用壽命.

設計意圖：通過普查和抽樣調查的比較，使學生感受抽樣調查的必要性和重要性.

高考數學教案大全篇6

加法原理和乘法原理

教學目標

正確理解和掌握加法原理和乘法原理，并能準確地應用它們分析和解決一些簡單的問題，從而發展學生的思維能力，培養學生分析問題和解決問題的能力.

教學重點和難點

重點：加法原理和乘法原理.

難點：加法原理和乘法原理的準確應用.

教學用具

投影儀.

教學過程設計

(一)引入新課

從本節課開始，我們將要學習中學代數內容中一個獨特的部分——排列、組合、二項式定理.它們研究對象獨特，研究問題的方法不同一般.雖然份量不多，但是與舊知識的聯系很少，而且它還是我們今后學習概率論的基礎，統計學、運籌學以及生物的選種等都與它直接有關.至于在日常的工作、生活上，只要涉及安排調配的問題，就離不開它.

今天我們先學習兩個基本原理.

(二)講授新課

1.介紹兩個基本原理

先考慮下面的問題：

問題1：從甲地到乙地，可以乘火車，也可以乘汽車，還可以乘輪船.一天中，火車有4個班次，汽車有2個班次，輪船有3個班次.那么一天中乘坐這些交通工具從甲地到乙地，共有多少種不同的走法?

因為一天中乘火車有4種走法，乘汽車有2種走法，乘輪船有3種走法，每種走法都可以完成由甲地到乙地這件事情.所以，一天中乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有4+2+3=9種不同的走法.

這個問題可以總結為下面的一個基本原理(打出片子——加法原理)：

加法原理：做一件事，完成它可以有幾類辦法，在第一類辦法中有m1種不同的方法，在第二類辦法中有m2種不同的方法，……，在第n類辦法中有mn種不同的方法.那么，完成這件事共有N=m1+m2+…+mn種不同的方法.

請大家再來考慮下面的問題(打出片子——問題2)：

問題2：由A村去B村的道路有3條，由B村去C村的道路有2條(見下圖)，從A村經B村去C村，共有多少種不同的走法?

這里，從A村到B村，有3種不同的走法，按這3種走法中的每一種走法到達B村后，再從B村到C村又各有2種不同的走法，因此，從A村經B村去C村共有3×2=6種不同的走法.

一般地，有如下基本原理(找出片子——乘法原理)：

乘法原理：做一件事，完成它需要分成n個步驟，做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法，……，做第n步有mn種不同的方法.那么，完成這件事共有N=m1×m2×…×mn種不同的方法.

2.淺釋兩個基本原理

兩個基本原理的用途是計算做一件事完成它的所有不同的方法種數.

比較兩個基本原理，想一想，它們有什么區別?

兩個基本原理的區別在于：一個與分類有關，一個與分步有關.

看下面的分析是否正確(打出片子——題1，題2)：

題1：找1～10這10個數中的所有合數.第一類辦法是找含因數2的合數，共有4個;第二類辦法是找含因數3的合數，共有2個;第三類辦法是找含因數5的合數，共有1個.

1～10中一共有N=4+2+1=7個合數.

題2：在前面的問題2中，步行從A村到B村的北路需要8時，中路需要4時，南路需要6時，B村到C村的北路需要5時，南路需要3時，要求步行從A村到C村的總時數不超過12時，共有多少種不同的走法?

第一步從A村到B村有3種走法，第二步從B村到C村有2種走法，共有N=3×2=6種不同走法.

題2中的合數是4，6，8，9，10這五個，其中6既含有因數2，也含有因數3;10既含有因數2，也含有因數5.題中的分析是錯誤的.

從A村到C村總時數不超過12時的走法共有5種.題2中從A村走北路到B村后再到C村，只有南路這一種走法.

(此時給出題1和題2的目的是為了引導學生找出應用兩個基本原理的注意事項，這樣安排，不但可以使學生對兩個基本原理的理解更深刻，而且還可以培養學生的學習能力)

進行分類時，要求各類辦法彼此之間是相互排斥的，不論哪一類辦法中的哪一種方法，都能單獨完成這件事.只有滿足這個條件，才能直接用加法原理，否則不可以.

如果完成一件事需要分成幾個步驟，各步驟都不可缺少，需要依次完成所有步驟才能完成這件事，而各步要求相互獨立，即相對于前一步的每一種方法，下一步都有m種不同的方法，那么計算完成這件事的方法數時，就可以直接應用乘法原理.

也就是說：類類互斥，步步獨立.

(在學生對問題的分析不是很清楚時，教師及時地歸納小結，能使學生在應用兩個基本原理時，思路進一步清晰和明確，不再簡單地認為什么樣的分類都可以直接用加法，只要分步而不管是否相互聯系就用乘法.從而深入理解兩個基本原理中分類、分步的真正含義和實質)

(三)應用舉例

現在我們已經有了兩個基本原理，我們可以用它們來解決一些簡單問題了.

例1書架上放有3本不同的數學書，5本不同的語文書，6本不同的英語書.

(1)若從這些書中任取一本，有多少種不同的取法?

(2)若從這些書中，取數學書、語文書、英語書各一本，有多少種不同的取法?

(3)若從這些書中取不同的科目的書兩本，有多少種不同的取法?

(讓學生思考，要求依據兩個基本原理寫出這3個問題的答案及理由，教師巡視指導，并適時口述解法)

(1)從書架上任取一本書，可以有3類辦法：第一類辦法是從3本不同數學書中任取1本，有3種方法;第二類辦法是從5本不同的語文書中任取1本，有5種方法;第三類辦法是從6本不同的英語書中任取一本，有6種方法.根據加法原理，得到的取法種數是

N=m1+m2+m3=3+5+6=14.故從書架上任取一本書的不同取法有14種.

(2)從書架上任取數學書、語文書、英語書各1本，需要分成三個步驟完成，第一步取1本數學書，有3種方法;第二步取1本語文書，有5種方法;第三步取1本英語書，有6種方法.根據乘法原理，得到不同的取法種數是N=m1×m2×m3=3×5×6=90.故，從書架上取數學書、語文書、英語書各1本，有90種不同的方法.

(3)從書架上任取不同科目的書兩本，可以有3類辦法：第一類辦法是數學書、語文書各取1本，需要分兩個步驟，有3×5種方法;第二類辦法是數學書、英語書各取1本，需要分兩個步驟，有3×6種方法;第三類辦法是語文書、英語書各取1本，有5×6種方法.一共得到不同的取法種數是N=3×5+3×6+5×6=63.即，從書架任取不同科目的書兩本的不同取法有63種.

例2由數字0，1，2，3，4可以組成多少個三位整數(各位上的數字允許重復)?

解：要組成一個三位數，需要分成三個步驟：第一步確定百位上的數字，從1～4這4個數字中任選一個數字，有4種選法;第二步確定十位上的數字，由于數字允許重復，共有5種選法;第三步確定個位上的數字，仍有5種選法.根據乘法原理，得到可以組成的三位整數的個數是N=4×5×5=100.

答：可以組成100個三位整數.

教師的連續發問、啟發、引導，幫助學生找到正確的解題思路和計算方法，使學生的分析問題能力有所提高.教師在第二個例題中給出板書示范，能幫助學生進一步加深對兩個基本原理實質的理解，周密的考慮，準確的表達、規范的書寫，對于學生周密思考、準確表達、規范書寫良好習慣的形成有著積極的促進作用，也可以為學生后面應用兩個基本原理解排列、組合綜合題打下基礎.

(四)歸納小結

歸納什么時候用加法原理、什么時候用乘法原理：

分類時用加法原理，分步時用乘法原理.

應用兩個基本原理時需要注意分類時要求各類辦法彼此之間相互排斥;分步時要求各步是相互獨立的.

(五)課堂練習

P222：練習1～4.

(對于題4，教師有必要對三個多項式乘積展開后各項的構成給以提示)

(六)布置作業

P222：練習5，6，7.

補充題：

1.在所有的兩位數中，個位數字小于十位數字的共有多少個?

(提示：按十位上數字的大小可以分為9類，共有9+8+7+…+2+1=45個個位數字小于十位數字的兩位數)

2.某學生填報高考志愿，有m個不同的志愿可供選擇，若只能按第一、二、三志愿依次填寫3個不同的志愿，求該生填寫志愿的方式的種數.

(提示：需要按三個志愿分成三步，共有m(m-1)(m-2)種填寫方式)

3.在所有的三位數中，有且只有兩個數字相同的三位數共有多少個?

(提示：可以用下面方法來求解：(1)△△□，(2)△□△，(3)□△□，(1)，(2)，(3)類中每類都是9×9種，共有9×9+9×9+9×9=3×9×9=243個只有兩個數字相同的三位數)

4.某小組有10人，每人至少會英語和日語中的一門，其中8人會英語，5人會日語，(1)從中任選一個會外語的人，有多少種選法?(2)從中選出會英語與會日語的各1人，有多少種不同的選法?

(提示：由于8+5=13>10，所以10人中必有3人既會英語又會日語.

(1)N=5+2+3;(2)N=5×2+5×3+2×3)

高考數學教案大全篇7

一、導入新課，探究標準方程

二、掌握知識，鞏固練習

練習：

1、說出下列圓的方程

⑴圓心(3，—2)半徑為5

⑵圓心(0，3)半徑為3

2、指出下列圓的圓心和半徑

⑴(x—2)2+(y+3)2=3

⑵x2+y2=2

⑶x2+y2—6x+4y+12=0

3、判斷3x—4y—10=0和x2+y2=4的位置關系

4、圓心為(1，3)，并與3x—4y—7=0相切，求這個圓的方程

三、引伸提高，講解例題

例1、圓心在y=—2x上，過p(2，—1)且與x—y=1相切求圓的方程(突出待定系數的數學方法)

練習：

1、某圓過(—2，1)、(2，3)，圓心在x軸上，求其方程。

2、某圓過A(—10，0)、B(10，0)、C(0，4)，求圓的方程。

例2：某圓拱橋的跨度為20米，拱高為4米，在建造時每隔4米加一個支柱支撐，求A2P2的長度。

例3、點M(x0，y0)在x2+y2=r2上，求過M的圓的切線方程(一題多解，訓練思維)

四、小結練習P771，2，3，4

五、作業P811，2，3，4

高考數學教案大全篇8

一、目標

1、知識與技能

(1)理解流程圖的順序結構和選擇結構。

(2)能用字語言表示算法，并能將算法用順序結構和選擇結構表示簡單的流程圖

2、過程與方法

學生通過模仿、操作、探索、經歷設計流程圖表達解決問題的過程，理解流程圖的結構。

3、情感、態度與價值觀

學生通過動手作圖，用自然語言表示算法，用圖表示算法。進一步體會算法的基本思想——程序化思想，在歸納概括中培養學生的邏輯思維能力。

二、重點、難點

重點：算法的順序結構與選擇結構。

難點：用含有選擇結構的流程圖表示算法。

三、學法與教學用具

學法：學生通過動手作圖，用自然語言表示算法，用圖表示算法，體會到用流程圖表示算法，簡潔、清晰、直觀、便于檢查，經歷設計流程圖表達解決問題的過程。進而學習順序結構和選擇結構表示簡單的流程圖。

教學用具：尺規作圖工具，多媒體。

四、教學思路

（一）、問題引入揭示題

例1尺規作圖，確定線段的一個5等分點。

要求：同桌一人作圖，一人寫算法，并請學生說出答案。

提問：用字語言寫出算法有何感受？

引導學生體驗到：顯得冗長，不方便、不簡潔。

教師說明：為了使算法的表述簡潔、清晰、直觀、便于檢查，我們今天學習用一些通用圖型符號構成一張圖即流程圖表示算法。

本節要學習的是順序結構與選擇結構。

右圖即是同流程圖表示的算法。

（二）、觀察類比理解題

1、投影介紹流程圖的符號、名稱及功能說明。

符號符號名稱功能說明

終端框算法開始與結束

處理框算法的各種處理操作

判斷框算法的各種轉移

輸入輸出框輸入輸出操作

指向線指向另一操作

2、講授順序結構及選擇結構的概念及流程圖

(1)順序結構

依照步驟依次執行的一個算法

流程圖：

(2)選擇結構

對條進行判斷決定后面的步驟的結構

流程圖：

3、用自然語言表示算法與用流程圖表示算法的比較

（1）半徑為r的圓的面積公式當r=10時寫出計算圓的面積的算法，并畫出流程圖。

解：

算法(自然語言)

①把10賦與r

②用公式求s

③輸出s

流程圖

（2）已知函數對于每輸入一個X值都得到相應的函數值，寫出算法并畫流程圖。

算法：（語言表示）

①輸入X值

②判斷X的范圍，若，用函數Y=x+1求函數值；否則用Y=2-x求函數值

③輸出Y的值

流程圖

小結：含有數學中需要分類討論的或與分段函數有關的問題，均要用到選擇結構。

學生觀察、類比、說出流程圖與自然語言對比有何特點？（直觀、清楚、便于檢查和交流）

（三）模仿操作經歷題

1、用流程圖表示確定線段AB的一個16等分點

2、分析講解例2；

分析：

思考：有多少個選擇結構？相應的流程圖應如何表示？

流程圖：

（四）歸納小結鞏固題

1、順序結構和選擇結構的模式是怎樣的？

2、怎樣用流程圖表示算法。

（五）練習Ｐ992

（六）作業P991

高考數學教案大全篇9

教學目的：

(1)明確函數的三種表示方法;

(2)在實際情境中，會根據不同的需要選擇恰當的方法表示函數;

(3)通過具體實例，了解簡單的分段函數，并能簡單應用;

(4)糾正認為“y=f(x)”就是函數的解析式的片面錯誤認識.

教學重點：函數的三種表示方法，分段函數的概念.

教學難點：根據不同的需要選擇恰當的方法表示函數，什么才算“恰當”?分段函數的表示及其圖象.

教學過程：

引入課題

復習：函數的概念;

常用的函數表示法及各自的優點：

(1)解析法;

(2)圖象法;

(3)列表法.

新課教學

(一)典型例題

例1.某種筆記本的單價是5元，買x(x∈{1，2，3，4，5})個筆記本需要y元.試用三種表示法表示函數y=f(x).

分析：注意本例的設問，此處“y=f(x)”有三種含義，它可以是解析表達式，可以是圖象，也可以是對應值表.

解：(略)

注意：

函數圖象既可以是連續的曲線，也可以是直線、折線、離散的點等等，注意判斷一個圖形是否是函數圖象的依據;

解析法：必須注明函數的定義域;

圖象法：是否連線;

列表法：選取的自變量要有代表性，應能反映定義域的特征.

鞏固練習：

課本P27練習第1題

例2.下表是某校高一(1)班三位同學在高一學年度幾次數學測試的成績及班級及班級平均分表：

第一次第二次第三次第四次第五次第六次王偉988791928895張城907688758680趙磊686573727582班平均分88.278.385.480.375.782.6請你對這三們同學在高一學年度的數學學習情況做一個分析.

分析：本例應引導學生分析題目要求，做學情分析，具體要分析什么?怎么分析?借助什么工具?

解：(略)

注意：

本例為了研究學生的學習情況，將離散的點用虛線連接，這樣更便于研究成績的變化特點;

本例能否用解析法?為什么?

鞏固練習：課本P27練習第2題

例3.畫出函數y=x.

解：(略)

鞏固練習：課本P27練習第3題

拓展練習：

任意畫一個函數y=f(x)的圖象，然后作出y=f(x)和y=f(x)的圖象，并嘗試簡要說明三者(圖象)之間的關系.

課本P27練習第3題

例4.某市郊空調公共汽車的票價按下列規則制定：

(1)乘坐汽車5公里以內，票價2元;

(2)5公里以上，每增加5公里，票價增加1元(不足5公里按5公里計算).

已知兩個相鄰的公共汽車站間相距約為1公里，如果沿途(包括起點站和終點站)設20個汽車站，請根據題意，寫出票價與里程之間的函數解析式，并畫出函數的圖象.

分析：本例是一個實際問題，有具體的實際意義.根據實際情況公共汽車到站才能停車，所以行車里程只能取整數值.

解：設票價為y元，里程為x公里，同根據題意，

如果某空調汽車運行路線中設20個汽車站(包括起點站和終點站)，那么汽車行駛的里程約為19公里，所以自變量x的取值范圍是{x∈Nx≤19}.

由空調汽車票價制定的規定，可得到以下函數解析式：

()

根據這個函數解析式，可畫出函數圖象，如下圖所示：

注意：

本例具有實際背景，所以解題時應考慮其實際意義;

本題可否用列表法表示函數，如果可以，應怎樣列表?

實踐與拓展：

請你設計一張乘車價目表，讓售票員和乘客非常容易地知道任意兩站之間的票價.(可以實地考查一下某公交車線路)

說明：象上面兩例中的函數，稱為分段函數.

高考數學教案大全篇10

教材分析：

三角函數的誘導公式是普通高中課程標準實驗教科書(人教B版)數學必修四，第一章第二節內容，其主要內容是公式(一)至公式(四)。本節課是第二課時，教學內容是公式(三)。教材要求通過學生在已經掌握的任意角的三角函數定義和公式(一)(二)的基礎上，發現他們與單位圓的交點坐標之間關系，進而發現三角函數值的關系。同時教材滲透了轉化與化歸等數學思想方法。

教案背景：

通過學生在已經掌握的任意角的三角函數定義和公式(一)(二)的基礎上，發現他們與單位圓的交點坐標之間關系，進而發現三角函數值的關系。同時教材滲透了轉化與化歸等數學思想方法，為培養學生養成良好的學習習慣提出了要求。因此本節內容在三角函數中占有非常重要的地位.

教學方法：

以學生為主題，以發現為主線，盡力滲透類比、化歸、數形結合等數學思想方法，采用提出問題、啟發引導、共同探究、綜合應用等教學模式。

教學目標：

借助單位圓探究誘導公式。

能正確運用誘導公式將任意角的三角函數化為銳角三角函數。

教學重點：

誘導公式(三)的推導及應用。

教學難點：

誘導公式的應用。

教學手段：

多媒體。

教學情景設計：

一.復習回顧：

1.誘導公式(一)(二)。

2.角(終邊在一條直線上)

3.思考：下列一組角有什么特征?()能否用式子來表示?

二.新課：

已知由

可知

而(課件演示，學生發現)

所以

于是可得：(三)

設計意圖：結合幾何畫板的演示利用同一點的坐標變換，導出公式。

由公式(一)(三)可以看出，角角相等。即：

.

公式(一)(二)(三)都叫誘導公式。利用誘導公式可以求三角函數式的值或化簡三角函數式。

設計意圖：結合學過的公式(一)(二)，發現特點，總結公式。

1.練習

(1)

設計意圖：利用公式解決問題，發現新問題，小組研究討論，得到新公式。

(學生板演，老師點評，用彩色粉筆強調重點，引導學生總結公式。)

三.例題

例3：求下列各三角函數值：

(1)

(2)

(3)

(4)

例4：化簡

設計意圖：利用公式解決問題。

練習：

(1)

(2)(學生板演，師生點評)

設計意圖：觀察公式特點，選擇公式解決問題。

四.課堂小結：將任意角三角函數轉化為銳角三角函數，體現轉化化歸，數形結合思想的應用，培養了學生分析問題、解決問題的能力，熟練應用解決問題。

五.課后作業：課后練習A、B組

六.課后反思與交流

很榮幸大家來聽我的課，通過這課，我學習到如下的東西：

1.要認真的研讀新課標，對教學的目標，重難點把握要到位

2.注意板書設計，注重細節的東西，語速需要改正

3.進一步的學習網頁制作，讓你的網頁更加的完善，學生更容易操作

4.盡可能讓你的學生自主提出問題，自主的思考，能夠化被動學習為主動學習，充分享受學習數學的樂趣

5.上課的生動化，形象化需要加強

聽課者評價：

1.評議者：網絡輔助教學，起到了很好的效果;教態大方，作為新教師，開設校際課，勇氣可嘉!建議：感覺到老師有點緊張，其實可以放開點的，相信效果會更好的!重點不夠清晰，有引導數學時，最好值有個側重點;網絡設計上，網頁上公開的推導公式為上，留有更大的空間讓學生來思考。

2.評議者：網絡教學效果良好，給學生自主思考，學習的空間發揮，教學設計得好;建議：課堂講課聲音，語調可以更有節奏感一些，抑揚頓挫應注意課堂例題練習可以多兩題。

3.評議者：學科網絡平臺的使用;建議：應重視引導學生將一些唾手可得的有用結論總結出來，并形成自我的經驗。

4.評議者：引導學生通過網絡進行探究。

建議：課件制作在線測評部分，建議不能重復選擇，應全部做完后，顯示結果，再重復測試;多提問學生。

(1)給學生思考的時間較長，語調相對平緩，總結時，給學生一些激勵的語言更好

(2)這樣子的教學可以提高上課效率，讓學生更多的時間思考

(3)網絡平臺的使用，使得學生的參與度明顯提高，存在問題：1.公式對稱性的誘導，點與點的對稱的誘導，終邊的關系的誘導，要進一步的修正;2.公式的概括要注意引導學生怎么用，學習這個誘導公式的作用

(4)給學生答案，這個網頁要進一步的修正，答案能否不要一點就出來

(5)1.板書設計要進一步的加強，2.語速相對是比較快的3.練習量比較少

(6)讓學生多探究，課堂會更熱鬧

(7)注意引入的過程要帶有目的，帶著問題來教學，學生帶著問題來學習

(8)教學模式相對簡單重復

(9)思路較為清晰，規范化的推理

高考數學教案大全篇11

教學目標：

1、掌握復數的加減法及乘法運算法則及意義；理解共軛復數的概念。

2、理解并掌握實數進行四則運算的規律。

教學重點：

復數乘法運算

教學難點：

復數運算法則在計算中的熟練應用

教學方法：

類比探究法

教學過程：

復習復數的定義，復數的分類及復數相等的充要條件等上節課所學內容

一、問題情境

問題1：化簡：，類比你能計算嗎？

問題2：化簡：多項式，類比你能計算嗎？

問題3：兩個復數a＋bi，a－bi有什么聯系？

二、學生活動

1、由多項式的加法類比猜想＝1＋4i，進而猜想。若，根據復數相等的定義，得？

2、由多項式的乘法類比猜想（2＋3i）（－1＋i）＝－5－i，進而猜想（a＋bi）（c＋di）＝（ac－bd）＋（bc＋ad）i。

3、兩個復數a＋bi，a－bi實部相等，虛部互為相反數。

三、建構數學

復數z1＝a＋bi，z2＝c＋di

復數和的定義：z1＋z2＝（a＋c）＋（b＋d）i

復數差的定義：z1－z2＝（a－c）＋（b－d）i

復數積的定義：z1z2＝（ac－bd）＋（bc＋ad）i

性質：z2z1＝z1z2；（z1z2）z3＝z1（z2z3）；z1（z2＋z3）＝z1z2＋z1z3

共軛復數：與互為共軛復數；實數的共軛復數是它本身

四、數學應用

解a2＋b2

思考1當a＞0時，方程x2＋a＝0的根是什么？

解x＝±i

思考2設x，y∈R，在復數集內，能將x2＋y2分解因式嗎？

解x2＋y2＝（x＋yi）（x－yi）

五、鞏固練習

課本P115練習第3，4，5題。

六、拓展訓練

例4已知復數z滿足：求復數z？

七、要點歸納與方法小結：

本節課學習了以下內容：

1、復數的加減法法則和運算律。

2、復數的乘法法則和運算律。

3、共軛復數的有關概念。

高考數學教案大全篇12

教學設計

整體設計

教學分析

對余弦定理的探究，教材是從直角三角形入手，通過向量知識給予證明的.一是進一步加深學生對向量工具性的認識，二是感受向量法證明余弦定理的奇妙之處，感受向量法在解決問題中的威力.課后仍鼓勵學生探究余弦定理的其他證明方法，推出余弦定理后，可讓學生用自己的語言敘述出來，并讓學生結合余弦函數的性質明確：如果一個三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是直角;如果小于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是鈍角;如果大于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是銳角.由上可知，余弦定理是勾股定理的推廣.還要啟發引導學生注意余弦定理的幾種變形式，并總結余弦定理的適用題型的特點，在解題時正確選用余弦定理達到求解、化簡的目的.

應用余弦定理及其另一種形式，并結合正弦定理，可以解決以下問題：(1)已知兩邊和它們的夾角解三角形;(2)已知三角形的三邊解三角形.在已知兩邊及其夾角解三角形時，可以用余弦定理求出第三條邊，這樣就把問題轉化成已知三邊解三角形的問題.在已知三邊和一個角的情況下，求另一個角既可以應用余弦定理的另一種形式，也可以用正弦定理.用余弦定理的另一種形式，可以(根據角的余弦值)直接判斷角是銳角還是鈍角，但計算比較復雜.用正弦定理計算相對比較簡單，但仍要根據已知條件中邊的大小來確定角的大小.

根據教材特點，本內容安排2課時.一節重在余弦定理的推導及簡單應用，一節重在解三角形中兩個定理的綜合應用.

三維目標

1.通過對余弦定理的探究與證明，掌握余弦定理的另一種形式及其應用;了解余弦定理與勾股定理之間的聯系;知道解三角形問題的幾種情形.

2.通過對三角形邊角關系的探索，提高數學語言的表達能力，并進一步理解三角函數、余弦定理、向量的數量積等知識間的關系，加深對數學具有廣泛應用的認識;同時通過正弦定理、余弦定理數學表達式的變換，認識數學中的對稱美、簡潔美、統一美.

3.加深對數學思想的認識，本節的主要數學思想是量化的數學思想、分類討論思想以及數形結合思想;這些數學思想是對于數學知識的理性的、本質的、高度抽象的、概括的認識，具有普遍的指導意義，它是我們學習數學的重要組成部分，有利于加深學生對具體數學知識的理解和掌握.

重點難點

教學重點：掌握余弦定理;理解余弦定理的推導及其另一種形式，并能應用它們解三角形.

教學難點：余弦定理的證明及其基本應用以及結合正弦定理解三角形.

課時安排

2課時

教學過程

第1課時

導入新課

思路1.(類比導入)在探究正弦定理的證明過程中，從直角三角形的特殊情形入手，發現了正弦定理.現在我們仍然從直角三角形的這種特殊情形入手，然后將銳角三角形轉化為直角三角形，再適當運用勾股定理進行探索，這種導入比較自然流暢，易于學生接受.

思路2.(問題導入)如果已知一個三角形的兩條邊及其所夾的角，根據三角形全等的判斷方法，這個三角形是大小、形狀完全確定的三角形，能否把這個邊角關系準確量化出來呢?也就是從已知的兩邊和它們的夾角能否計算出三角形的另一邊和另兩個角呢?根據我們掌握的數學方法，比如說向量法，坐標法，三角法，幾何法等，類比正弦定理的證明，你能推導出余弦定理嗎?

推進新課

新知探究

提出問題

??1?通過對任意三角形中大邊對大角，小邊對小角的邊角量化，我們發現了正弦定理，解決了兩類解三角形的問題.那么如果已知一個三角形的兩條邊及這兩邊所夾的角，根據三角形全等的判定方法，這個三角形是大小、形狀完全確定的三角形.怎樣已知三角形的兩邊及這兩邊夾角的條件下解三角形呢?

?2?能否用平面幾何方法或向量方法或坐標方法等探究出計算第三邊長的關系式或計算公式呢?

?3?余弦定理的內容是什么?你能用文字語言敘述它嗎?余弦定理與以前學過的關于三角形的什么定理在形式上非常接近?

?4?余弦定理的另一種表達形式是什么?

?5?余弦定理可以解決哪些類型的解三角形問題?怎樣求解?

?6?正弦定理與余弦定理在應用上有哪些聯系和區別?

活動：根據學生的認知特點，結合課件“余弦定理猜想與驗證”，教師引導學生仍從特殊情形入手，通過觀察、猜想、證明而推廣到一般.

如下圖，在直角三角形中，根據兩直角邊及直角可表示斜邊，即勾股定理，那么對于任意三角形，能否根據已知兩邊及夾角來表示第三邊呢?下面，我們根據初中所學的平面幾何的有關知識來研究這一問題.

如下圖，在△ABC中，設BC=a，AC=b，AB=c，試根據b、c、∠A來表示a.

教師引導學生進行探究.由于初中平面幾何所接觸的是解直角三角形問題，所以應添加輔助線構成直角三角形.在直角三角形內通過邊角關系作進一步的轉化工作，故作CD垂直于AB于點D，那么在Rt△BDC中，邊a可利用勾股定理通過CD、DB表示，而CD可在Rt△ADC中利用邊角關系表示，DB可利用AB，AD表示，進而在Rt△ADC內求解.探究過程如下：

過點C作CD⊥AB，垂足為點D，則在Rt△CDB中，根據勾股定理，得

a2=CD2+BD2.

∵在Rt△ADC中，CD2=b2-AD2，

又∵BD2=(c-AD)2=c2-2c?AD+AD2，

∴a2=b2-AD2+c2-2c?AD+AD2=b2+c2-2c?AD.

又∵在Rt△ADC中，AD=b?cosA，

∴a2=b2+c2-2bccosA.

類似地可以證明b2=c2+a2-2cacosB.

c2=a2+b2-2abcosC.

另外，當A為鈍角時也可證得上述結論，當A為直角時，a2+b2=c2也符合上述結論.

這就是解三角形中的另一個重要定理——余弦定理.下面類比正弦定理的證明，用向量的方法探究余弦定理，進一步體會向量知識的工具性作用.

教師與學生一起探究余弦定理中的角是以余弦的形式出現的，又涉及邊長問題，學生很容易想到向量的數量積的定義式：a?b=abcosθ，其中θ為a，b的夾角.

用向量法探究余弦定理的具體過程如下：

如下圖，設CB→=a，CA→=b，AB→=c，那么c=a-b，

c2=c?c=(a-b)?(a-b)

=a?a+b?b-2a?b

=a2+b2-2abcosC.

所以c2=a2+b2-2abcosC.

同理可以證明a2=b2+c2-2bccosA，

b2=c2+a2-2cacosB.

這個定理用坐標法證明也比較容易，為了拓展學生的思路，教師可引導學生用坐標法證明，過程如下：

如下圖，以C為原點，邊CB所在直線為x軸，建立平面直角坐標系，設點B的坐標為(a,0)，點A的坐標為(bcosC，bsinC)，根據兩點間距離公式

AB=?bcosC-a?2+?bsinC-0?2，

∴c2=b2cos2C-2abcosC+a2+b2sin2C，

整理，得c2=a2+b2-2abcosC.

同理可以證明：a2=b2+c2-2bccosA，

b2=c2+a2-2cacosB.

余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍，即

a2=b2+c2-2bccosAb2=c2+a2-2accosBc2=a2+b2-2abcosC

余弦定理指出了三角形的三條邊與其中的一個角之間的關系，每一個等式中都包含四個不同的量，它們分別是三角形的三邊和一個角，知道其中的三個量，就可以求得第四個量.從而由三角形的三邊可確定三角形的三個角，得到余弦定理的另一種形式：

cosA=b2+c2-a22bccosB=c2+a2-b22cacosC=a2+b2-c22ab

教師引導學生進一步觀察、分析余弦定理的結構特征，發現余弦定理與以前的關于三角形的勾股定理在形式上非常接近，讓學生比較并討論它們之間的關系.學生容易看出，若△ABC中，C=90°，則cosC=0，這時余弦定理變為c2=a2+b2.由此可知，余弦定理是勾股定理的推廣;勾股定理是余弦定理的特例.另外，從余弦定理和余弦函數的性質可知，在一個三角形中，如果兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是直角;如果兩邊的平方和小于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是鈍角;如果兩邊的平方和大于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是銳角.從以上可知，余弦定理可以看作是勾股定理的推廣.

應用余弦定理，可以解決以下兩類有關解三角形的問題：

①已知三角形的三邊解三角形，這類問題是三邊確定，故三角也確定，有解;

②已知兩邊和它們的夾角解三角形，這類問題是第三邊確定，因而其他兩個角也確定，故解.不會產生利用正弦定理解三角形所產生的判斷解的取舍的問題.

把正弦定理和余弦定理結合起來應用，能很好地解決解三角形的問題.教師引導學生觀察兩個定理可解決的問題類型會發現：如果已知的是三角形的三邊和一個角的情況，而求另兩角中的某個角時，既可以用余弦定理也可以用正弦定理，那么這兩種方法哪個會更好些呢?教師與學生一起探究得到：若用余弦定理的另一種形式，可以根據余弦值直接判斷角是銳角還是鈍角，但計算比較復雜.用正弦定理計算相對比較簡單，但仍要根據已知條件中邊的大小來確定角的大小，所以一般應該選擇用正弦定理去計算比較小的邊所對的角.教師要點撥學生注意總結這種優化解題的技巧.

討論結果：

(1)、(2)、(3)、(6)見活動.

(4)余弦定理的另一種表達形式是：

cosA=b2+c2-a22bccosB=c2+a2-b22cacosC=a2+b2-c22ab

(5)利用余弦定理可解決兩類解三角形問題：

一類是已知三角形三邊，另一類是已知三角形兩邊及其夾角.

應用示例

例1如圖，在△ABC中，已知a=5，b=4，∠C=120°，求c.

活動：本例是利用余弦定理解決的第二類問題，可讓學生獨立完成.

解：由余弦定理，得

c2=a2+b2-2abcos120°，

因此c=52+42-2×5×4×?-12?=61.

例2如圖，在△ABC中，已知a=3，b=2，c=19，求此三角形各個角的大小及其面積.(精確到0.1)

活動：本例中已知三角形三邊，可利用余弦定理先求出邊所對的角，然后利用正弦定理再求出另一角，進而求得第三角.教材中這樣安排是為了讓學生充分熟悉正弦定理和余弦定理.實際教學時可讓學生自己探求解題思路，比如學生可能會三次利用余弦定理分別求出三個角，或先求出最小邊所對的角再用正弦定理求其他角，這些教師都要給予鼓勵，然后讓學生自己比較這些方法的不同或優劣，從而深刻理解兩個定理的.

解：由余弦定理，得

cos∠BCA=a2+b2-c22ab=32+22-?19?22×3×2=9+4-1912=-12，

因此∠BCA=120°，

再由正弦定理，得

sinA=asin∠BCAc=3×3219=33219≈0.5960，

因此∠A≈36.6°或∠A≈143.4°(不合題意，舍去).

因此∠B=180°-∠A-∠BCA≈23.4°.

設BC邊上的高為AD，則

AD=csinB=19sin23.4°≈1.73.

所以△ABC的面積≈12×3×1.73≈2.6.

點評：在既可應用正弦定理又可應用余弦定理時，體會兩種方法存在的差異.當所求的角是鈍角時，用余弦定理可以立即判定所求的角，但用正弦定理則不能直接判定.

變式訓練

在△ABC中，已知a=14，b=20，c=12，求A、B和C.(精確到1°)

解：∵cosA=b2+c2-a22bc=202+122-1422×20×12=0.7250，

∴A≈44°.

∵cosC=a2+b2-c22ab=142+202-1222×14×20=113140≈0.8071，

∴C≈36°.

∴B=180°-(A+C)≈180°-(44°+36°)=100°.

例3如圖，△ABC的頂點為A(6,5)，B(-2,8)和C(4,1)，求∠A.(精確到0.1°)

活動：本例中三角形的三點是以坐標的形式給出的，點撥學生利用兩點間距離公式先求出三邊，然后利用余弦定理求出∠A.可由學生自己解決，教師給予適當的指導.

解：根據兩點間距離公式，得

AB=[6-?-2?]2+?5-8?2=73，

BC=?-2-4?2+?8-1?2=85，

AC=?6-4?2+?5-1?2=25.

在△ABC中，由余弦定理，得

cosA=AB2+AC2-BC22AB?AC=2365≈0.1047，

因此∠A≈84.0°.

點評：三角形三邊的長作為中間過程，不必算出精確數值.

變式訓練

用向量的數量積運算重做本例.

解：如例3題圖，AB→=(-8,3)，AC→=(-2，-4)，

∴AB→=73，AC→=20.

∴cosA=AB→?AC→AB→AC→

=-8×?-2?+3×?-4?73×20

=2365≈0.1047.

因此∠A≈84.0°.

例4在△ABC中，已知a=8，b=7，B=60°，求c及S△ABC.

活動：根據已知條件可以先由正弦定理求出角A，再結合三角形內角和定理求出角C，再利用正弦定理求出邊c，而三角形面積由公式S△ABC=12acsinB可以求出.若用余弦定理求c，可利用余弦定理b2=c2+a2-2cacosB建立關于c的方程，亦能達到求c的目的.

解法一：由正弦定理，得8sinA=7sin60°，

∴A1=81.8°，A2=98.2°.

∴C1=38.2°，C2=21.8°.

由7sin60°=csinC，得c1=3，c2=5，

∴S△ABC=12ac1sinB=63或S△ABC=12ac2sinB=103.

解法二：由余弦定理，得b2=c2+a2-2cacosB，

∴72=c2+82-2×8×ccos60°.

整理，得c2-8c+15=0，

解之，得c1=3，c2=5.∴S△ABC=12ac1sinB=63或S△ABC=12ac2sinB=103.

點評：在解法一的思路里，應注意用正弦定理應有兩種結果，避免遺漏;而解法二更有耐人尋味之處，體現出余弦定理作為公式而直接應用的另外用處，即可以用之建立方程，從而運用方程的觀點去解決，故解法二應引起學生的注意.

綜合上述例題，要求學生總結余弦定理在求解三角形時的適用范圍;已知三邊求角或已知兩邊及其夾角解三角形，同時注意余弦定理在求角時的優勢以及利用余弦定理建立方程的解法，即已知兩邊及一角解三角形可用余弦定理解之.

變式訓練

在△ABC中，內角A，B，C對邊的邊長分別是a，b，c.已知c=2，C=60°.

(1)若△ABC的面積等于3，求a，b;

(2)若sinB=2sinA，求△ABC的面積.

解：(1)由余弦定理及已知條件，得a2+b2-2abcos60°=c2，即a2+b2-ab=4，

又因為△ABC的面積等于3，所以12absinC=3，ab=4.

聯立方程組a2+b2-ab=4，ab=4，解得a=2，b=2.

(2)由正弦定理及已知條件，得b=2a，

聯立方程組a2+b2-ab=4，b=2a，解得a=233，b=433.

所以△ABC的面積S=12absinC=233.

知能訓練

1.在△ABC中，已知C=120°，兩邊a與b是方程x2-3x+2=0的兩根，則c的值為…

()

A.3B.7C.3D.7

2.已知三角形的三邊長分別為x2+x+1，x2-1,2x+1(x>1)，求三角形的角.

答案：

1.D解析：由題意，知a+b=3，ab=2.

在△ABC中，由余弦定理，知

c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2+ab

=(a+b)2-ab

=7，

∴c=7.

2.解：比較得知，x2+x+1為三角形的邊，設其對角為A.

由余弦定理，得

cosA=?x2-1?2+?2x+1?2-?x2+x+1?22?x2-1??2x+1?

=-12.

∵0

即三角形的角為120°.

課堂小結

1.教師先讓學生回顧本節課的探究過程，然后再讓學生用文字語言敘述余弦定理，準確理解其實質，并由學生回顧可用余弦定理解決哪些解三角形的問題.

2.教師指出：從方程的觀點來分析，余弦定理的每一個等式都包含了四個不同的量，知道其中三個量，便可求得第四個量.要通過課下作業，從方程的角度進行各種變形，達到辨明余弦定理作用的目的.

3.思考本節學到的探究方法，定性發現→定量探討→得到定理.

作業

課本習題1—1A組4、5、6;習題1—1B組1～5.

設計感想

本教案的設計充分體現了“民主教學思想”，教師不主觀、不武斷、不包辦，讓學生充分發現問題，合作探究，使學生真正成為學習的主體，力求在課堂上人人都會有“令你自己滿意”的探究成果.這樣能夠不同程度地開發學生的潛能，且使教學內容得以鞏固和延伸.“發現法”是常用的一種教學方法，本教案設計是從直角三角形出發，以歸納——猜想——證明——應用為線索，用恰當的問題通過啟發和點撥，使學生把規律和方法在愉快的氣氛中探究出來，而展現的過程合情合理，自然流暢，學生的主體地位得到了充分的發揮.

縱觀本教案設計流程，引入自然，學生探究到位，體現新課程理念，能較好地完成三維目標，課程內容及重點難點也把握得恰到好處.環環相扣的設計流程會強烈地感染著學生積極主動地獲取知識，使學生的探究欲望及精神狀態始終處于狀態.在整個教案設計中學生的思維活動量大，這是貫穿整個教案始終的一條主線，也應是實際課堂教學中的一條主線.

備課資料

一、與解三角形有關的幾個問題

1.向量方法證明三角形中的射影定理

如圖，在△ABC中，設三內角A、B、C的對邊分別是a、b、c.

∵AC→+CB→=AB→，

∴AC→?(AC→+CB→)=AC→?AB→.

∴AC→?AC→+AC→?CB→=AC→?AB→.

∴AC→2+AC→CB→cos(180°-C)=AB→AC→cosA.

∴AC→-CB→cosC=AB→cosA.

∴b-acosC=ccosA，

即b=ccosA+acosC.

同理，得a=bcosC+ccosB，c=bcosA+acosB.

上述三式稱為三角形中的射影定理.

2.解斜三角形題型分析

正弦定理和余弦定理的每一個等式中都包含三角形的四個元素，如果其中三個元素是已知的(其中至少有一個元素是邊)，那么這個三角形一定可解.

關于斜三角形的解法，根據所給的條件及適用的定理可以歸納為下面四種類型：

(1)已知兩角及其中一個角的對邊，如A、B、a，解△ABC.

解：①根據A+B+C=π，求出角C;

②根據asinA=bsinB及asinA=csinC，求b、c.

如果已知的是兩角和它們的夾邊，如A、B、c，那么先求出第三角C，然后按照②來求解.求解過程中盡可能應用已知元素.

(2)已知兩邊和它們的夾角，如a、b、C，解△ABC.

解：①根據c2=a2+b2-2abcosC，求出邊c;

②根據cosA=b2+c2-a22bc，求出角A;

③由B=180°-A-C，求出角B.

求出第三邊c后，往往為了計算上的方便，應用正弦定理求角，但為了避免討論角是鈍角還是銳角，應先求較小邊所對的角(它一定是銳角)，當然也可以用余弦定理求解.

(3)已知兩邊及其中一條邊所對的角，如a、b、A，解△ABC.

解：①asinA=bsinB，經過討論求出B;

②求出B后，由A+B+C=180°，求出角C;

③再根據asinA=csinC，求出邊c.

(4)已知三邊a、b、c，解△ABC.

解：一般應用余弦定理求出兩角后，再由A+B+C=180°，求出第三個角.

另外，和第二種情形完全一樣，當第一個角求出后，可以根據正弦定理求出第二個角，但仍然需注意要先求較小邊所對的銳角.

(5)已知三角，解△ABC.

解：滿足條件的三角形可以作出無窮多個，故此類問題解不.

3.“可解三角形”與“需解三角形”

解斜三角形是三角函數這章中的一個重要內容，也是求解立體幾何和解析幾何問題的一個重要工具.但在具體解題時，有些同學面對較為復雜(即圖中三角形不止一個)的斜三角形問題，往往不知如何下手.至于何時用正弦定理或余弦定理也是心中無數，這既延長了思考時間，更影響了解題的速度和質量.但若明確了“可解三角形”和“需解三角形”這兩個概念，則情形就不一樣了.

所謂“可解三角形”，是指已經具有三個元素(至少有一邊)的三角形;而“需解三角形”則是指需求邊或角所在的三角形.當一個題目的圖形中三角形個數不少于兩個時，一般來說其中必有一個三角形是可解的，我們就可先求出這個“可解三角形”的某些邊和角，從而使“需解三角形”可解.在確定了“可解三角形”和“需解三角形”后，就要正確地判斷它們的類型，合理地選擇正弦定理或余弦定理作為解題工具，求出需求元素，并確定解的情況.

“可解三角形”和“需解三角形”的引入，能縮短求解斜三角形問題的思考時間.一題到手后，先做什么，再做什么，心里便有了底.分析問題的思路也從“試試看”“做做看”等不大確定的狀態而變為“有的放矢”地去挖掘，去探究.

二、備用習題

1.△ABC中，已知b2-bc-2c2=0，a=6，cosA=78，則△ABC的面積S為()

A.152B.15C.2D.3

2.已知一個三角形的三邊為a、b和a2+b2+ab，則這個三角形的角是()

A.75°B.90°C.120°D.150°

3.已知銳角三角形的兩邊長為2和3，那么第三邊長x的取值范圍是()

A.(1,5)B.(1，5)C.(5，5)D.(5，13)

4.如果把直角三角形的三邊都增加同樣的長度，則這個新三角形的形狀為()

A.銳角三角形B.直角三角形

C.鈍角三角形D.由增加的長度確定

5.(1)在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C所對的邊，已知a=3，b=3，C=30°，則A=__________.

(2)在△ABC中，三個角A，B，C的對邊邊長分別為a=3，b=4，c=6，則bccosA+cacosB+abcosC的值為__________.

6.在△ABC中，若(a+b+c)(a+b-c)=3ab，并且sinC=2sinBcosA，試判斷△ABC的形狀.

7.在△ABC中，設三角形面積為S，若S=a2-(b-c)2，求tanA2的值.

參考答案：

1.A解析：由b2-bc-2c2=0，即(b+c)(b-2c)=0，得b=2c;①

由余弦定理，得a2=b2+c2-2bccosA，即6=b2+c2-74bc.②

解①②，得b=4，c=2.

由cosA=78，得sinA=158，

∴S△ABC=12bcsinA=12×4×2×158=152.

2.C解析：設角為θ，由余弦定理，得a2+b2+ab=a2+b2-2abcosθ，

∴cosθ=-12.∴θ=120°.

3.D解析：若x為邊，由余弦定理，知4+9-x22×2×3>0，即x2<13，∴0

若x為最小邊，則由余弦定理知4+x2-9>0，即x2>5，

∴x>5.綜上，知x的取值范圍是5

4.A解析：設直角三角形的三邊為a，b，c，其中c為斜邊，增加長度為x.

則c+x為新三角形的最長邊.設其所對的角為θ，由余弦定理知，

cosθ=?a+x?2+?b+x?2-?c+x?22?a+x??b+x?=2?a+b-c?x+x22?a+x??b+x?>0.

∴θ為銳角，即新三角形為銳角三角形.

5.(1)30°(2)612解析：(1)∵a=3，b=3，C=30°，由余弦定理，有

c2=a2+b2-2abcosC=3+9-2×3×3×32=3，

∴a=c，則A=C=30°.

(2)∵bccosA+cacosB+abcosC=b2+c2-a22+c2+a2-b22+a2+b2-c22

=a2+b2+c22=32+42+622=612.

6.解：由正弦定理，得sinCsinB=cb，

由sinC=2sinBcosA，得cosA=sinC2sinB=c2b，

又根據余弦定理，得cosA=b2+c2-a22bc，

故c2b=b2+c2-a22bc，即c2=b2+c2-a2.

于是，得b2=a2，故b=a.

又因為(a+b+c)(a+b-c)=3ab，

故(a+b)2-c2=3ab.由a=b，得4b2-c2=3b2，

所以b2=c2，即b=c.故a=b=c.

因此△ABC為正三角形.

7.解：S=a2-(b-c)2，又S=12bcsinA，

∴12bcsinA=a2-(b-c)2，

有14sinA=-?b2+c2-a2?2bc+1，

即14?2sinA2?cosA2=1-cosA.

∴12?sinA2?cosA2=2sin2A2.

∵sinA2≠0，故12cosA2=2sinA2，∴tanA2=14.

第2課時

導入新課

思路1.(復習導入)讓學生回顧正弦定理、余弦定理的內容及表達式，回顧上兩節課所解決的解三角形問題，那么把正弦定理、余弦定理放在一起并結合三角、向量、幾何等知識我們會探究出什么樣的解題規律呢?由此展開新課.

思路2.(問題導入)我們在應用正弦定理解三角形時，已知三角形的兩邊及其一邊的對角往往得出不同情形的解，有時有一解，有時有兩解，有時又無解，這究竟是怎么回事呢?本節課我們從一般情形入手，結合圖形對這一問題進行進一步的探究，由此展開新課.

推進新課

新知探究

提出問題

?1?回憶正弦定理、余弦定理及其另一種形式的表達式，并用文字語言敘述其內容.能寫出定理的哪些變式?

?2?正、余弦定理各適合解決哪類解三角形問題?

?3?解三角形常用的有關三角形的定理、性質還有哪些?

?4?為什么有時解三角形會出現矛盾，即無解呢?比如：,①已知在△ABC中，a=22cm，b=25cm，A=135°，解三角形;,②已知三條邊分別是3cm，4cm，7cm，解三角形.

活動：結合課件、幻燈片等，教師可把學生分成幾組互相提問正弦定理、余弦定理的內容是什么?各式中有幾個量?有什么作用?用方程的思想寫出所有的變形(包括文字敘述)，讓學生回答正、余弦定理各適合解決的解三角形類型問題、三角形內角和定理、三角形面積定理等.可讓學生填寫下表中的相關內容：

解斜三角形時可

用的定理和公式適用類型備注

余弦定理

a2=b2+c2-2bccosA

b2=a2+c2-2accosB

c2=b2+a2-2bacosC(1)已知三邊

(2)已知兩邊及其夾角

類型(1)(2)有解時只有一解

正弦定理

asinA=bsinB=csinC=2R

(3)已知兩角和一邊

(4)已知兩邊及其中一邊的對角類型(3)在有解時只有一解，類型(4)可有兩解、一解或無解

三角形面積公式

S=12bcsinA

=12acsinB

=12absinC

(5)已知兩邊及其夾角

對于正弦定理，教師引導學生寫出其變式：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，利用幻燈片更能直觀地看出解三角形時的邊角互化.對于余弦定理，教師要引導學生寫出其變式(然后教師打出幻燈片)：∠A>90°?a2>b2+c2;∠A=90°?a2=b2+c2;∠A<90°?a2

以上內容的復習回顧如不加以整理，學生將有雜亂無章、無規碰撞之感，覺得好像更難以把握了，要的就是這個效果，在看似學生亂提亂問亂說亂寫的時候，教師適時地打出幻燈片(1張)，立即收到耳目一新，主線立現、心中明朗的感覺，幻燈片除以上2張外，還有：

asinA=bsinB=csinC=2R;a2=b2+c2-2bccosA，b2=a2+c2-2accosB，c2=a2+b2-2abcosC;cosA=b2+c2-a22bc，cosB=a2+c2-b22ac，cosC=a2+b2-c22ab.

出示幻燈片后，必要時教師可根據學生的實際情況略作點評.

與學生一起討論解三角形有時會出現無解的情況.如問題(4)中的①會出現如下解法：

根據正弦定理，sinB=bsinAa=25sin133°22≈0.8311.

∵0°

于是C=180°-(A+B)≈180°-(133°+56.21°)=-9.21°或C=180°-(A+B)≈180°-(133°+123.79°)=-76.79°.

到這里我們發現解三角形竟然解出負角來，顯然是錯誤的.問題出在哪里呢?在檢驗以上計算無誤的前提下，教師引導學生分析已知條件.由a=22cm，b=25cm，這里a

討論結果：

(1)、(3)、(4)略.

(2)利用正弦定理和余弦定理可解決以下四類解三角形問題：

①已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角.

②已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角(從而進一步求出其他的邊和角).

③已知三邊，求三個角.

④已知兩邊和夾角，求第三邊和其他兩角.

應用示例

例1在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，b=acosC且△ABC的邊長為12，最小角的正弦值為13.

(1)判斷△ABC的形狀;

(2)求△ABC的面積.

活動：教師與學生一起共同探究本例，通過本例帶動正弦定理、余弦定理的知識串聯，引導學生觀察條件b=acosC，這是本例中的關鍵條件.很顯然，如果利用正弦定理實現邊角轉化，則有2RsinB=2RsinA?cosC.若利用余弦定理實現邊角轉化，則有b=a?a2+b2-c22ab，兩種轉化策略都是我們常用的.引導學生注意對于涉及三角形的三角函數變換.內角和定理A+B+C=180°非常重要，常變的角有A2+B2=π2-C2，2A+2B+2C=2π，sinA=sin(B+C)，cosA=-cos(B+C)，sinA2=cosB+C2，cosA2=sinB+C2等，三個內角的大小范圍都不能超出(0°，180°).

解：(1)方法一：∵b=acosC，

∴由正弦定理，得sinB=sinA?cosC.

又∵sinB=sin(A+C)，∴sin(A+C)=sinA?cosC，

即cosA?sinC=0.

又∵A、C∈(0，π)，∴cosA=0，即A=π2.

∴△ABC是A=90°的直角三角形.

方法二：∵b=acosC，

∴由余弦定理，得b=a?a2+b2-c22ab，

2b2=a2+b2-c2，即a2=b2+c2.

由勾股定理逆定理，知△ABC是A=90°的直角三角形.

(2)∵△ABC的邊長為12，由(1)知斜邊a=12.

又∵△ABC最小角的正弦值為13，

∴Rt△ABC的最短直角邊長為12×13=4.

另一條直角邊長為122-42=82，

∴S△ABC=12×4×82=162.

點評：以三角形為載體，以三角變換為核心，結合正弦定理和余弦定理綜合考查邏輯分析和計算推理能力是高考命題的一個重要方向.因此要特別關注三角函數在解三角形中的靈活運用，及正、余弦定理的靈活運用.

變式訓練

在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別是a、b、c，且cosA=45.

(1)求sin2B+C2+cos2A的值;

(2)若b=2，△ABC的面積S=3，求a.

解：(1)sin2B+C2+cos2A=1-cos?B+C?2+cos2A

=1+cosA2+2cos2A-1=5950.

(2)∵cosA=45，∴sinA=35.

由S△ABC=12bcsinA得3=12×2c×35，解得c=5.

由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA，可得a2=4+25-2×2×5×45=13，

∴a=13.

例2已知a，b，c是△ABC中∠A，∠B，∠C的對邊，若a=7，c=5，∠A=120°，求邊長b及△ABC外接圓半徑R.

活動：教師引導學生觀察已知條件，有邊有角，可由余弦定理先求出邊b，然后利用正弦定理再求其他.點撥學生注意體會邊角的互化，以及正弦定理和余弦定理各自的作用.

解：由余弦定理，知a2=b2+c2-2bccosA，即b2+52-2×5×bcos120°=49，

∴b2+5b-24=0.

解得b=3.(負值舍去).

由正弦定理：asinA=2R，即7sin120°=2R，解得R=733.

∴△ABC中，b=3，R=733.

點評：本題直接利用余弦定理，借助方程思想求解邊b，讓學生體會這種解題方法，并探究其他的解題思路.

變式訓練

設△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知b2+c2=a2+3bc，求：

(1)A的大小;

(2)2sinB?cosC-sin(B-C)的值.

解：(1)由余弦定理，得cosA=b2+c2-a22bc=3bc2bc=32，

∴∠A=30°.

(2)2sinBcosC-sin(B-C)

=2sinBcosC-(sinB?cosC-cosBsinC)

=sinBcosC+cosBsinC

=sin(B+C)

=sinA

=12.

例3如圖，在四邊形ABCD中，∠ADB=∠BCD=75°，∠ACB=∠BDC=45°，DC=3，求：

(1)AB的長;

(2)四邊形ABCD的面積.

活動：本例是正弦定理、余弦定理的靈活應用，結合三角形面積求解，難度不大，可讓學生自己獨立解決，體會正、余弦定理結合三角形面積的綜合應用.

解：(1)因為∠BCD=75°，∠ACB=45°，所以∠ACD=30°.

又因為∠BDC=45°，

所以∠DAC=180°-(75°+45°+30°)=30°.所以AD=DC=3.

在△BCD中，∠CBD=180°-(75°+45°)=60°，

所以BDsin75°=DCsin60°，BD=3sin75°sin60°=6+22.

在△ABD中，AB2=AD2+BD2-2×AD×BD×cos75°=(3)2+(6+22)2-2×3×6+22×6-24=5，所以AB=5.

(2)S△ABD=12×AD×BD×sin75°=12×3×6+22×6+24=3+234.

同理，S△BCD=3+34.

所以四邊形ABCD的面積S=6+334.

點評：本例解答對運算能力提出了較高要求，教師應要求學生“列式工整、算法簡潔、運算正確”，養成規范答題的良好習慣.

變式訓練

如圖，△ACD是等邊三角形，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，BD交AC于E，AB=2.

(1)求cos∠CBE的值;

(2)求AE.

解：(1)因為∠BCD=90°+60°=150°，

CB=AC=CD，

所以∠CBE=15°.

所以cos∠CBE=cos(45°-30°)=6+24.

(2)在△ABE中，AB=2，

由正弦定理，得AEsin?45°-15°?=2sin?90°+15°?，

故AE=2sin30°cos15°=2×126+24=6-2.

例4在△ABC中，求證：a2sin2B+b2sin2A=2absinC.

活動：此題所證結論包含關于△ABC的邊角關系，證明時可以考慮兩種途徑：一是把角的關系通過正弦定理轉化為邊的關系，若是余弦形式則通過余弦定理;二是把邊的關系轉化為角的關系，一般是通過正弦定理.另外，此題要求學生熟悉相關的三角函數的有關公式，如sin2B=2sinBcosB等，以便在化為角的關系時進行三角函數式的恒等變形.

證法一：(化為三角函數)

a2sin2B+b2sin2A=(2RsinA)2?2sinB?cosB+(2RsinB)2?2sinA?cosA=8R2sinA?sinB(sinAcosB+cosAsinB)=8R2sinAsinBsinC=2?2RsinA?2RsinB?sinC=2absinC.

所以原式得證.

證法二：(化為邊的等式)

左邊=a2?2sinBcosB+b2?2sinAcosA=a2?2b2R?a2+c2-b22ac+b2?2a2R?b2+c2-a22bc=ab2Rc(a2+c2-b2+b2+c2-a2)=ab2Rc?2c2=2ab?c2R=2absinC.

點評：由邊向角轉化，通常利用正弦定理的變形式：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，在轉化為角的關系式后，要注意三角函數公式的運用，在此題用到了正弦二倍角公式sin2A=2sinA?cosA，正弦兩角和公式sin(A+B)=sinA?cosB+cosA?sinB;由角向邊轉化，要結合正弦定理變形式以及余弦定理形式二.

高考數學教案大全篇13

一、基本知識概要：

1.直線與圓錐曲線的位置關系：相交、相切、相離。

從代數的角度看是直線方程和圓錐曲線的方程組成的方程組，無解時必相離;有兩組解必相交;一組解時，若化為x或y的方程二次項系數非零，判別式⊿=0時必相切，若二次項系數為零，有一組解仍是相交。

2.弦：直線被圓錐曲線截得的線段稱為圓錐曲線的弦。

焦點弦：若弦過圓錐曲線的焦點叫焦點弦;

通徑：若焦點弦垂直于焦點所在的圓錐曲線的對稱軸，此時焦點弦也叫通徑。

3.①當直線的斜率存在時，弦長公式：

=或當存在且不為零時

，(其中()，()是交點坐標)。

②拋物線的焦點弦長公式AB=，其中α為過焦點的直線的傾斜角。

4.重點難點:直線與圓錐曲線相交、相切條件下某些關系的確立及其一些字母范圍的確定。

5.思維方式:方程思想、數形結合的思想、設而不求與整體代入的技巧。

6.特別注意:直線與圓錐曲線當只有一個交點時要除去兩種情況，些直線才是曲線的切線。一是直線與拋物線的對稱軸平行;二是直線與雙曲線的漸近線平行。

二、例題：

【例1】直線y=x+3與曲線()

A。沒有交點B。只有一個交點C。有兩個交點D。有三個交點

〖解〗：當x>0時，雙曲線的漸近線為：，而直線y=x+3的斜率為1，1<3y="x+3過橢圓的頂點，k=1">0因此直線與橢圓左半部分有一交點，共計3個交點，選D

由此強調：公差可以是正數、負數，也可以是0

2、第二個重點部分為等差數列的通項公式

(1)若一等差數列{an}的首項是,公差是d，則據其定義可得：

a2-a1=d即：a2=a1+d

a3-a2=d即：a3=a2+d

……

猜想:

a40=a1+39d

進而歸納出等差數列的通項公式：an=a1+(n-1)d

設計思路：在歸納等差數列通項公式中，我采用討論式的教學方法。給出等差數列的首項，公差d，由學生研究分組討論的通項公式。通過總結的通項公式由學生猜想的通項公式，進而歸納的通項公式。整個過程由學生完成，通過互相討論的方式既培養了學生的協作意識，又化解了教學難點。

(2)此時指出：這種求通項公式的辦法叫不完全歸納法，這種導出公式的方法不夠嚴密，為了培養學生嚴謹的學習態度，在這里向學生介紹另外一種求數列通項公式的辦法——迭加法：

a2-a1=d

a3=a2+d

……

an-an-1=d將這n-1個等式左右兩邊分別相加,就可以得到an–a1=(n-1)d即an=a1+(n-1)d，當n=1時，此式也成立，所以對一切n∈N﹡，上面的公式都成立，因此它就是等差數列{an｝的通項公式。

在迭加法的證明過程中，我采用啟發式教學方法。利用等差數列概念啟發學生寫出n-1個等式。將n-1個等式相加，證出通項公式。在這里通過該知識點引入迭加法這一數學思想，逐步達到“注重方法，凸現思想”的教學要求。

(三)鞏固新知應用例解

例1(1)求等差數列8，5，2，…的第20項;第30項;第40項

(2)-401是不是等差數列-5，-9，-13，…的項?如果是，是第幾項?

例2在等差數列{an｝中，已知a5=10，a20=31，求首項與公差d。

這一環節是使學生通過例題和練習，增強對通項公式含義的理解以及對通項公式的運用，提高解決實際問題的能力。通過例1和例2向學生表明：要用運動變化的觀點看等差數列通項公式中的a1、d、n、an這4個量之間的關系。當其中的三個量已知時，可根據該公式求出第四個量。

例3梯子的最高一級寬33cm，最低一級寬110cm，中間還有10級，各級的寬度成等差數列。計算中間各級的寬度。

設置此題的目的：1.加強同學們對應用題的綜合分析能力，2.通過數學實際問題引出等差數列問題，激發了學生的興趣;3.再者通過數學實例展示了“從實際問題出發經抽象概括建立數學模型，最后還原說明實際問題的“數學建?！钡臄祵W思想方法。

(四)反饋練習

1、課后的練習中的第1題和第2題(要求學生在規定時間內完成)。

目的：使學生熟悉通項公式，對學生進行基本技能訓練。

2、課后習題第3題和第4題。

目的：對學生加強建模思想訓練。

(五)歸納小結、深化目標

1.等差數列的概念及數學表達式an-an-1=d(n≥1)。

強調關鍵字：從第二項開始它的每一項與前一項之差都等于同一常數。

2.等差數列的通項公式會知三求一。

3.用“數學建?！彼枷敕椒ń鉀Q實際問題。

(六)布置作業

必做題：課本習題第2，6題

選做題：已知等差數列{an}的首項=-24，從第10項開始為正數，求公差d的取值范圍。(目的：通過分層作業，提高同學們的求知欲和滿足不同層次的學生需求)

高考數學教案大全篇14

教學目標

1、明確等差數列的定義。

2、掌握等差數列的通項公式，會解決知道中的三個，求另外一個的問題

3、培養學生觀察、歸納能力。

教學重點

1、等差數列的概念;

2、等差數列的通項公式

教學難點

等差數列“等差”特點的理解、把握和應用

教具準備

投影片1張

教學過程

(I)復習回顧

師：上兩節課我們共同學習了數列的定義及給出數列的兩種方法通項公式和遞推公式。這兩個公式從不同的角度反映數列的特點，下面看一些例子。(放投影片)

(Ⅱ)講授新課

師：看這些數列有什么共同的特點?

1，2，3，4，5，6;①

10，8，6，4，2，…;②

生：積極思考，找上述數列共同特點。

對于數列①(1≤n≤6);(2≤n≤6)

對于數列②—2n(n≥1)(n≥2)

對于數列③(n≥1)(n≥2)

共同特點：從第2項起，第一項與它的前一項的差都等于同一個常數。

師：也就是說，這些數列均具有相鄰兩項之差“相等”的特點。具有這種特點的數列，我們把它叫做等差數。

一、定義：

等差數列：一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與空的前一項的差等于同一個常數，那么這個數列就叫做等差數列，這個常數叫做等差數列的公差，通常用字母d表示。

如：上述3個數列都是等差數列，它們的公差依次是1，—2……

二、等差數列的通項公式

師：等差數列定義是由一數列相鄰兩項之間關系而得。若一等差數列的首項是，公差是d，則據其定義可得：

若將這n—1個等式相加，則可得：

即：即：即：……

由此可得：師：看來，若已知一數列為等差數列，則只要知其首項和公差d，便可求得其通項。

如數列①(1≤n≤6)

數列②：(n≥1)

數列③：(n≥1)

由上述關系還可得：即：則：=如：三、例題講解

例1：(1)求等差數列8，5，2…的第20項

(2)—401是不是等差數列—5，—9，—13…的項?如果是，是第幾項?

解：(1)由n=20，得(2)由得數列通項公式為：由題意可知，本題是要回答是否存在正整數n，使得—401=—5—4(n—1)成立解之得n=100，即—401是這個數列的第100項。

(Ⅲ)課堂練習

生：(口答)課本P118練習3

(書面練習)課本P117練習1

師：組織學生自評練習(同桌討論)

(Ⅳ)課時小結

師：本節主要內容為：①等差數列定義。

即(n≥2)

②等差數列通項公式(n≥1)

推導出公式：(V)課后作業

一、課本P118習題3。21，2

二、1、預習內容：課本P116例2P117例4

2、預習提綱：

①如何應用等差數列的定義及通項公式解決一些相關問題?

②等差數列有哪些性質?