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高中數學教案全集免費下載篇1

（一）教學具準備

直尺，投影儀．

（二）教學目標

1、掌握，的定義域、值域、最值、單調區間．

2、會求含有、的三角式的定義域．

（三）教學過程

1、設置情境

研究函數就是要討論一些性質，是函數，我們當然也要探討它的一些屬性．本節課，我們就來研究正弦函數、余弦函數的最基本的兩條性質．

2、探索研究

師：同學們回想一下，研究一個函數常要研究它的哪些性質？

生：定義域、值域，單調性、奇偶性、等等．

師：很好，今天我們就來探索，兩條最基本的性質定義域、值域．（板書課題正、余弦函數的定義域、值域．）

師：請同學看投影，大家仔細觀察一下正弦、余弦曲線的圖像．

師：請同學思考以下幾個問題：

（1）正弦、余弦函數的定義域是什么？

（2）正弦、余弦函數的值域是什么？

（3）他們最值情況如何？

（4）他們的正負值區間如何分？

（5）的解集如何？

師生一起歸納得出：

（1）正弦函數、余弦函數的定義域都是．

（2）正弦函數、余弦函數的值域都是即，稱為正弦函數、余弦函數的有界性．

（3）取最大值、最小值情況：

正弦函數，當時，（）函數值取最大值1，當時，（）函數值取最小值－1．

余弦函數，當，（）時，函數值取最大值1，當，（）時，函數值取最小值－1．

（4）正負值區間：

（）

（5）零點：（）

（）

3、例題分析

【例1】求下列函數的定義域、值域：

（1）；（2）；（3）．

解：（1），

（2）由（）

又∵，∴

∴定義域為（），值域為．

（3）由（），又由

∴

∴定義域為（），值域為．

指出：求值域應注意用到或有界性的&39;條件．

【例2】求下列函數的最大值，并求出最大值時的集合：

（1），；（2），；

（3）（4）．

解：（1）當，即（）時，取得最大值

∴函數的最大值為2，取最大值時的集合為．

（2）當時，即（）時，取得最大值．

∴函數的最大值為1，取最大值時的集合為．

（3）若，此時函數為常數函數．

若時，∴時，即（）時，函數取最大值，

∴時函數的最大值為，取最大值時的集合為．

（4）若，則當時，函數取得最大值．

若，則，此時函數為常數函數．

若，當時，函數取得最大值．

∴當時，函數取得最大值，取得最大值時的集合為；當時，函數取得最大值，取得最大值時的集合為，當時，函數無最大值．

指出：對于含參數的最大值或最小值問題，要對或的系數進行討論．

思考：此例若改為求最小值，結果如何？

【例3】要使下列各式有意義應滿足什么條件？

（1）；（2）．

解：（1）由，

∴當時，式子有意義．

（2）由，即

∴當時，式子有意義．

4．演練反饋（投影）

（1）函數，的簡圖是（）

（2）函數的最大值和最小值分別為（）

A．2，－2B．4，0C．2，0D．4，－4

（3）函數的最小值是（）

A．B．－2C．D．

（4）如果與同時有意義，則的取值范圍應為（）

A．B．C．D．或

（5）與都是增函數的區間是（）

A．，B．，

C．，D．，

（6）函數的定義域________，值域________，時的集合為_________．

參考答案：1．B2．B3．A4．C5．D

6．；；

5．總結提煉

（1），的定義域均為．

（2）、的值域都是

（3）有界性：

（4）最大值或最小值都存在，且取得極值的集合為無限集．

（5）正負敬意及零點，從圖上一目了然．

（6）單調區間也可以從圖上看出．

（四）板書設計

1．定義域

2．值域

3．最值

4．正負區間

5．零點

例1

例2

例3

課堂練習

課后思考題：求函數的最大值和最小值及取最值時的集合

提示：

高中數學教案全集免費下載篇2

教學目標：

①掌握對數函數的性質。

②應用對數函數的性質可以解決：對數的大小比較，求復合函數的定義域、值 域及單調性。

③ 注重函數思想、等價轉化、分類討論等思想的滲透,提高解題能力。

教學重點與難點：對數函數的性質的應用。

教學過程設計：

⒈復習提問：對數函數的概念及性質。

⒉開始正課

1 比較數的大小

例 1 比較下列各組數的大小。

⑴loga5.1 ,loga5.9 (a>0,a≠1)

⑵log0.50.6 ,logЛ0.5 ,lnЛ

師：請同學們觀察一下⑴中這兩個對數有何特征?

生：這兩個對數底相等。

師：那么對于兩個底相等的對數如何比大小?

生：可構造一個以a為底的對數函數，用對數函數的單調性比大小。

師：對，請敘述一下這道題的解題過程。

生：對數函數的單調性取決于底的大小：當0調遞減，所以loga5.1>loga5.9 ;當a>1時，函數y=logax單調遞增，所以loga5.1

板書：

解：Ⅰ)當0

∵5.1<5.9 ∴loga5.1>loga5.9

Ⅱ)當a>1時，函數y=logax在(0，+∞)上是增函數，

∵5.1<5.9 ∴loga5.1

師：請同學們觀察一下⑵中這三個對數有何特征?

生：這三個對數底、真數都不相等。

師：那么對于這三個對數如何比大小?

生：找“中間量”， log0.50.6>0，lnЛ>0，logЛ0.5<0;lnЛ>1，

log0.50.6<1，所以logЛ0.5< log0.50.6< lnЛ。

板書：略。

師：比較對數值的大小常用方法：①構造對數函數，直接利用對數函數 的單調性比大小，②借用“中間量”間接比大小，③利用對數函數圖象的位置關系來比大小。

2 函數的定義域, 值 域及單調性。

高中數學教案全集免費下載篇3

教學內容背景材料：

義務教育課程標準實驗教科書（人教版）二年級上冊第八單元的排列與組合

教學目標：

1、通過觀察、猜測、操作等活動，找出最簡單的事物的排列數和組合數。

2、經歷探索簡單事物排列與組合規律的過程。

3、培養學生有順序地全面地思考問題的意識。

4、感受數學與生活的緊密聯系，激發學生學好數學的信心。

教學重點：經歷探索簡單事物排列與組合規律的過程

教學難點：初步理解簡單事物排列與組合的不同

教具準備：教學課件

學具準備：每生準備3張數字卡片，學具袋

教學過程：

一、創設問題情境：

師：森林學校的數學課上，猴博士出了這樣一道題（課件出示）用數字1、2能寫出幾個兩位數？問題剛說完小動物們都紛紛舉手說能寫成兩個數：12、21。接著猴博士又加上了一個數字3，問：“用數字1、2、3能寫出幾個兩位數呢？”小豬站起來說能寫成3個，小熊說5個，小狗說7個，到底能寫出幾個呢？用學生感興趣的童話故事引入，易于激發起學生探究的興趣，同時也向學生滲透助人為樂的品德教育。

1．自主合作探索新知

試一試

師：請同學們也試著寫一寫，如果你覺得直接寫有困難的話可以借助手中的數字卡片擺一擺。

學生活動教師巡視。（學生所寫的個數可能不一樣，有多有少，找幾份重復的或個數少的展示。）引導學生根據自己的實際情況選擇不同的方法探究新知，體現了不同的孩子用不同的方式學習數學這一新的教學理念，易于吸引不同層次的學生積極主動的參與到活動中來。

2．發現問題

學生匯報所寫個數，教師根據巡視的情況重點展示幾份，引導學生發現問題：有的重復寫了，有的漏寫了。

引導學生發現寫數過程中出現的問題，并就此展開討論、交流，遵循了學生的認知特點。學生在交流的過程中體驗到解決問題方法的多樣性，并根據自己的實際選擇不同的方法，尊重了學生的主體地位。在此過程中學生收獲的不僅是知識本身，更多的是能力、情感。

3．小組討論

師：每個同學寫出的個數不同，怎樣才能很快寫出所有的用數字1、2、3組成的兩位數，并做到不重復不遺漏呢？

學生以小組為單位交流討論。

4．小組匯報

匯報時可能會出現下面幾種情況：

1、無序的。

2、先寫出1在十位上的有12、13；再寫出2在十位上的有21、23；再寫出3在十位上的有31、32。

3、用數字1、2能寫出12、21；用數字2、3能寫出23、32；用數字1、3能寫出13、31。

4、引導學生及時評價每一種方法的優缺點，使其把適合自己的方法掌握起來。

5．小結

教師簡單小結學生所想方法引出練習內容。

6、拓展應用

數字2、3、4、5、出個兩位數？寫完交流。（或者也可用這樣一道題：用△○□能擺成6種排法，例如：□○△

請你試著擺出其他幾種排法。學習的目的是為了應用，讓學生自主的選擇方法進行練習，有利于培養學生的自主學習的能力。

二、組合

故事引入

師：下課了小狗、小熊、小豬做“找朋友”的游戲，好朋友見面之后要握握手，每兩只小動物握一次手，小狗、小熊、小豬一共握幾次手？怎樣握？用同一條故事主線貫穿整節課的始終，以問題串的形式展開全課，能讓學生始終保持濃厚的學習興趣，充分體驗到數學與生活的聯系。

探索新知

學生在充分獨立思考的基礎上展開小組交流，并3人一組親身實踐一下。

匯報思考的過程。

三、比較

師：剛才我們幫森林學校的小動物們解決了用數字1、2、3能寫幾個兩位數；3只小動物每兩個握一次手共握幾次手的問題，森林學校的小動物們直夸同學們聰明呢！通過解決這兩個問題你發現了什么？

生可能說用3個數字能寫出6個兩位數，3只小動物每兩人握一次手共握3次。

引導學生明確排列與順序有關而組合與順序無關。兩只小動物握一次手個？通過比較明確兩種問題的同與不同，便于建立起清晰的知識結構，進一步深化學生的認識。

四、拓展應用

1．小狗要參加學校的時裝表演，媽媽為它準備了4件衣服（課件出示2件上衣、2件褲子的圖片），請你幫小狗設計一下共有多少種穿法。如果需要的話可以用學具擺一擺。

交流想法。在兒童的生活經驗里積累了一些搭配衣服，購物花錢的知識經驗，所以學生樂于參與。

2．完成課本99頁的第2題

五、課堂總結

高中數學教案全集免費下載篇4

一、單元教學內容分析

本章節內容教學北師大版教材安排在三角函數章節之后，教本必修四的中間位置，為后面推導和差角公式做好鋪墊，為解三角形問題和平面幾何中的許多計算問題提供便利工具。

向量既有代數特征，又有幾何特征，是溝通代數與幾何的橋梁。向量具有代數特征，運算及其規律是代數學研究的基本問題。向量可以進行多種運算，如向量加、減、數乘和叉乘等。向量運算具有一系列豐富的運算性質，與數運算相比，向量運算擴充了運算的對象和運算的性質。向量具有幾何特征，它不僅可以描述、刻畫幾何中的點、線、面及其位置關系，數量關系，還可以表示空間當中的曲線與曲面，是研究幾何問題的基本工具。本教材能從學生熟悉的實例出發，經過觀察、分析、歸納等方法概括出向量的相關概念，比以往教材更能使學生產生自然而親切的感覺，有助于激發學生的學習興趣，調動學生學習的積極性，使他們真正認識到數學的應用價值，從而提高學生應用數學的意識。

向量是刻畫現實世界的重要的數學模型。它為理解抽象代數、線性代數、泛函分析提供了基本數學模型。他與物理學科緊密相連。由于向量是近代數學中重要和基本的數學概念，是溝通代數、幾何與三角函數的一種重要工具，它有極其豐富的實際背景，有著廣泛的實際應用，因此它具有很高的教育教學價值，它對更新和完善知識結構具有重要的意義。

教材結合向量的幾何背景——有向線段，引入向量的表示法，規定了向量的長度的概念。定義了零向量、單位向量、平行向量和共線向量等概念。對于許多舊有的知識利用向量方法去處理，就會變得非常簡捷，甚至變得十分明了，從而有助于學生對這些知識有更深刻的理解，更牢固的記憶，更自如的應用，總之，有助于學生建立良好的數學認知結構。通過本部分內容的學習，可以促使學生認識到向量與實際生活緊密相連，它在解決實際問題當中有著廣泛應用。

二、單元學生情況分析

1、學生在初中階段接觸過物理學里面的矢量，已具備基本的認知水平和運算能力，具備在運算中探索和發現數學結論的基本能力。

2、學生已基本掌握函數和三角函數章節的基礎知識，會運用數形結合法，整體代換，分類討論法，類比思想解決實際問題。

3、學生已具備基本的分析和解決數學問題的勇氣和智慧。

三、教學目標

1.知識與技能目標

（1）理解并掌握平面向量的基本概念。通過力與力的分析實例，了解向量的實際背景，理解平面向量和向量相等的含義，理解向量的幾何表示。

（2）通過實例，掌握向量的加、減、數乘向量和兩向量數量積運算，并理解其幾何意義。

（3）理解并掌握向量共線和垂直問題。理解平面向量基本定理及其意義。掌握平面向量的正交分解及其坐標表示。會用坐標表示向量的加、減、數乘向量及數量積運算。

（4）通過物理中“功”等實例，理解平面向量數量積的含義及其物理意義。體會平面向量的數量積與向量投影的關系。掌握數量積的坐標表示，能運用數量積表示兩個向量的夾角，會用數量積來判斷向量的垂直問題。

2.過程與方法目標

（1）通過實例讓學生親身經歷觀察、分析、歸納、抽象概括的思維過程。感受和認知不同維度中的向量表示。

（2）通過讓學生體會平面向量數量積的物理意義和幾何意義，體會數學與物理是密切聯系的。

（3）經歷用向量方法解決某些簡單的平面幾何及力學問題與其他一些實際問題的過程，體會向量是一種處理幾何問題、物理問題等的工具，使學生的運算能力和解決實際問題的能力得到提升。

3.情感、態度與價值觀

（1）從學生熟悉的生活實例出發建立平面向量概念，激發學生的學習興趣。從物理知識引入到數學知識的形成過程，使學生體會到知識之間的相互聯系，建立全面、科學的價值觀。

（2）通過對向量正交分解的學習，使學生進一步體會一般的問題往往歸結為人們最熟悉的特殊問題。

（3）通過對本章節內容的學習，使學生體會到數學和其他知識相聯系，體會數學作為解決問題的工具的作用。

重點：

1.平面向量的概念，運算，共線問題，平面向量的基本定理。

2.平面向量的坐標表示，向量數量積的概念和性質，向量的垂直問題。

3.體會向量在解決平面幾何問題和物理問題中的作用。

難點：

1.對自由向量，向量加、減法數乘向量定義的理解和對平面向量基本定理理解。

2.對平面向量運算坐標表示及向量數量積概念的理解，平面向量數量積的應用。

3.用向量表示幾何關系。

四、單元教學活動

1.引入向量相關概念時，除用教材中給出的實例外，鼓勵學生列舉實際生活中的其他實例。

2.學習向量知識的同時，盡量地聯系熟悉的物理現象或其他生活實例，用向量表述和刻畫。以便讓學生領悟到知識之間和學科之間的相互聯系。

3.通過協作討論，根據生活中的實際案例，邊了解概念，邊畫圖；邊進行計算，邊畫圖；進一步培養學生數形結合、形象思考、分析問題的習慣。

4.在學習本章知識的過程中，應注意向量運算的兩個方面：幾何意義與代數表示。由于新知識的學習過程中，它們相對孤立，學生對他們的認識也就不容易形成體系。所以在教授新課時應有意識地做一些滲透和鋪墊，在章節小結時應強調它們的區別與聯系，以便學生更加全面、深刻的認識向量。

高中數學教案全集免費下載篇5

教學目標：

1、使學生通過觀察、操作、實驗等活動，找出簡單事物的排列組合規律。

2、培養學生初步的觀察、分析和推理能力以及有順序地、全面地思考問題的意識。

3、使學生感受數學在現實生活中的廣泛應用，嘗試用數學的方法來解決實際生活中的問題。使學生在數學活動中養成與人合作的良好習慣。

教學過程：

一、創設增境，激發興趣。

師：今天我們要去"數學廣角樂園"游玩，你們想去嗎？

二、操作探究，學習新知。

＜一＞組合問題

l、看一看，說一說

師：那我們先在家里挑選穿上漂亮的衣服吧。（課件出示主題圖）

師引導思考：這么多漂亮的衣服，你們用一件上裝在搭配一件下裝可以怎么穿呢？(指名學生說一說）

2、想一想，擺一擺

（l）引導討論：有這么多種不同的穿法，那怎樣才能做到不遺漏、不重復呢？

①學生小組討論交流，老師參與小組討論。

②學生匯報

（2）引導操作：小組同學互相合作，把你們設計的穿法有序的貼在展示板上。（要求：小組長拿出學具衣服圖片、展示板）

①學生小組合作操作擺，教師巡視參與小組活動。

②學生展示作品，介紹搭配方案。

③生生互相評價。

（3）師引導觀察：

第一種方案(按上裝搭配下裝)有幾種穿法？（４種）

第二種方案(按下裝搭配上裝)有幾種穿法?（４種）

師小結：不管是用上裝搭配下裝，還是用下裝搭配上裝，只要做到有序搭配就能夠不重復、不遺漏的把所有的方法找出來。在今后的學習和生活中，我們還會遇到許多這樣的問題，我們都可以運用有序的思考方法來解決它們。

＜二＞排列問題

師：數學廣角樂園到了，不過進門之前我們必須找到開門密碼。（課件出示課件密碼門）

密碼是由１、２、3組成的兩位數．

（1）小組討論擺出不同的兩位數，并記下結果。

（2）學生匯報交流（老師根據學生的回答，點擊課件展示密碼）

（3）生生相互評價。方法一：每次拿出兩張數字卡片能擺出不同的兩位數；

方法二：固定十位上的數字，交換個位數字得到不同的兩位數；

方法三：固定個位上的數字，交換十位數字得到不同的兩位數．

師小結：三種方法雖然不同，但都能正確并有序地擺出６個不同的兩位數，同學們可以用自己喜歡的方法．

三、課堂實踐，鞏固新知。

１、乒乓球賽場次安排。

師：我們先去活動樂園看看，這兒正好有乒乓球比賽呢．（課件出示情境圖）

（l）老師提出要求：每兩個運動員之間打一場球賽，一共要比幾場？

（2）學生獨立思考．

（3）指名學生匯報．規

２、路線選擇。（課件展示游玩景點圖）

師:我們去公園看看吧。途中要經過游戲樂園。

（l）師引導觀察：從活動樂園到游戲樂園有幾條路線？哪幾條？(甲，乙兩條)從游戲樂園去公園有幾條路線？哪幾條？(A，B，C三條)（根據學生的回答課件展示）

從活動樂園到時公園到底有幾種不同的走法?

（2）學生獨立思索后小組交流。

（3）全班同學互相交流。

３、照像活動。

師：我們來到公園，這兒的景色真不錯，大家照幾張像吧．

師提出要求：攝影師要求三名同學站成一排照像，每小組根據每次合影人數（雙人照或三人照）設計排列方案，由組長作好活動記錄。

（1）小組活動，老師參與小組活動。

（2）各小組展示記錄方案。

（3）師生共同評價。

４、欣賞照片．

師：在同學們照像的同時，小麗一家三口人也正在照像呢，看看她們是怎樣照的．（課件展示照片集欣賞）

四、總結

今天的游玩到此結束，同學們互相握手告別好嗎？如果小組里的四個同學每兩人握一次手，一共要握幾次手？

高中數學教案全集免費下載篇6

【教學目標】

1. 知識與技能

(1)理解等差數列的定義，會應用定義判斷一個數列是否是等差數列：

(2)賬務等差數列的通項公式及其推導過程：

(3)會應用等差數列通項公式解決簡單問題。

2.過程與方法

在定義的理解和通項公式的推導、應用過程中，培養學生的觀察、分析、歸納能力和嚴密的邏輯思維的能力，體驗從特殊到一般，一般到特殊的認知規律，提高熟悉猜想和歸納的能力，滲透函數與方程的思想。

3.情感、態度與價值觀

通過教師指導下學生的自主學習、相互交流和探索活動，培養學生主動探索、用于發現的求知精神，激發學生的學習興趣，讓學生感受到成功的喜悅。在解決問題的過程中，使學生養成細心觀察、認真分析、善于總結的良好習慣。

【教學重點】

①等差數列的概念;②等差數列的通項公式

【教學難點】

①理解等差數列“等差”的特點及通項公式的含義;②等差數列的通項公式的推導過程.

【學情分析】

我所教學的學生是我校高一(7)班的學生(平行班學生)，經過一年的高中數學學習，大部分學生知識經驗已較為豐富，他們的智力發展已到了形式運演階段，具備了較強的抽象思維能力和演繹推理能力，但也有一部分學生的基礎較弱，學習數學的興趣還不是很濃，所以我在授課時注重從具體的生活實例出發，注重引導、啟發、研究和探討以符合這類學生的心理發展特點，從而促進思維能力的進一步發展.

【設計思路】

1.教法

①啟發引導法：這種方法有利于學生對知識進行主動建構;有利于突出重點，突破難點;有利于調動學生的主動性和積極性，發揮其創造性.

②分組討論法：有利于學生進行交流，及時發現問題，解決問題，調動學生的積極性.

③講練結合法：可以及時鞏固所學內容，抓住重點，突破難點.

2.學法

引導學生首先從三個現實問題(數數問題、水庫水位問題、儲蓄問題)概括出數組特點并抽象出等差數列的概念;接著就等差數列概念的特點，推導出等差數列的通項公式;可以對各種能力的同學引導認識多元的推導思維方法.

【教學過程】

一：創設情境，引入新課

1.從0開始，將5的倍數按從小到大的順序排列，得到的數列是什么?

2.水庫管理人員為了保證優質魚類有良好的生活環境，用定期放水清庫的辦法清理水庫中的雜魚.如果一個水庫的水位為18m，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m.那么從開始放水算起，到可以進行清理工作的那天，水庫每天的水位(單位：m)組成一個什么數列?

3.我國現行儲蓄制度規定銀行支付存款利息的方式為單利，即不把利息加入本息計算下一期的利息.按照單利計算本利和的公式是：本利和=本金×(1+利率×存期).按活期存入10 000元錢，年利率是0.72%，那么按照單利，5年內各年末的本利和(單位：元)組成一個什么數列?

教師：以上三個問題中的數蘊涵著三列數.

學生：

1：0，5，10，15，20，25，….

2：18，15.5，13，10.5，8，5.5.

3:10072，10144，10216，10288，10360.

(設置意圖：從實例引入,實質是給出了等差數列的現實背景,目的是讓學生感受到等差數列是現實生活中大量存在的數學模型.通過分析,由特殊到一般，激發學生學習探究知識的自主性，培養學生的歸納能力.

二：觀察歸納，形成定義

①0，5，10，15，20，25，….

②18，15.5，13，10.5，8，5.5.

③10072，10144，10216，10288，10360.

思考1上述數列有什么共同特點?

思考2根據上數列的共同特點，你能給出等差數列的一般定義嗎?

思考3你能將上述的文字語言轉換成數學符號語言嗎?

教師：引導學生思考這三列數具有的共同特征，然后讓學生抓住數列的特征，歸納得出等差數列概念.

學生：分組討論，可能會有不同的答案：前數和后數的差符合一定規律;這些數都是按照一定順序排列的…只要合理教師就要給予肯定.

教師引導歸納出：等差數列的定義;另外，教師引導學生從數學符號角度理解等差數列的定義.

(設計意圖：通過對一定數量感性材料的觀察、分析，提煉出感性材料的本質屬性;使學生體會到等差數列的規律和共同特點;一開始抓住：“從第二項起，每一項與它的前一項的差為同一常數”，落實對等差數列概念的準確表達.)

三：舉一反三，鞏固定義

1.判定下列數列是否為等差數列?若是，指出公差d.

(1)1,1,1,1,1;

(2)1,0,1,0,1;

(3)2,1,0,-1,-2;

(4)4,7,10,13,16.

教師出示題目,學生思考回答.教師訂正并強調求公差應注意的問題.

注意：公差d是每一項(第2項起)與它的前一項的差，防止把被減數與減數弄顛倒，而且公差可以是正數，負數，也可以為0 .

(設計意圖：強化學生對等差數列“等差”特征的理解和應用).

2思考4:設數列{an}的通項公式為an=3n+1，該數列是等差數列嗎?為什么?

(設計意圖：強化等差數列的證明定義法)

四：利用定義，導出通項

1.已知等差數列：8，5，2，…，求第200項?

2.已知一個等差數列{an｝的首項是a1，公差是d，如何求出它的任意項an呢?

教師出示問題，放手讓學生探究，然后選擇列式具有代表性的上去板演或投影展示.根據學生在課堂上的具體情況進行具體評價、引導，總結推導方法，體會歸納思想以及累加求通項的方法;讓學生初步嘗試處理數列問題的常用方法.

(設計意圖：引導學生觀察、歸納、猜想，培養學生合理的推理能力.學生在分組合作探究過程中，可能會找到多種不同的解決辦法，教師要逐一點評，并及時肯定、贊揚學生善于動腦、勇于創新的品質，激發學生的創造意識.鼓勵學生自主解答，培養學生運算能力)

五：應用通項，解決問題

1判斷100是不是等差數列2， 9，16，…的項?如果是，是第幾項?

2在等差數列{an}中，已知a5=10，a12=31，求a1，d和an.

3求等差數列 3,7,11，…的第4項和第10項

教師：給出問題，讓學生自己操練，教師巡視學生答題情況.

學生：教師叫學生代表總結此類題型的解題思路，教師補充：已知等差數列的首項和公差就可以求出其通項公式

(設計意圖：主要是熟悉公式,使學生從中體會公式與方程之間的聯系.初步認識“基本量法”求解等差數列問題.)

六：反饋練習：教材13頁練習1

七：歸納總結：

1.一個定義：

等差數列的定義及定義表達式

2.一個公式：

等差數列的通項公式

3.二個應用：

定義和通項公式的應用

教師：讓學生思考整理，找幾個代表發言，最后教師給出補充

(設計意圖：引導學生去聯想本節課所涉及到的各個方面，溝通它們之間的聯系，使學生能在新的高度上去重新認識和掌握基本概念，并靈活運用基本概念.)

【設計反思】

本設計從生活中的數列模型導入，有助于發揮學生學習的主動性，增強學生學習數列的興趣.在探索的過程中，學生通過分析、觀察，歸納出等差數列定義，然后由定義導出通項公式，強化了由具體到抽象，由特殊到一般的思維過程，有助于提高學生分析問題和解決問題的能力.本節課教學采用啟發方法，以教師提出問題、學生探討解決問題為途徑，以相互補充展開教學，總結科學合理的知識體系，形成師生之間的良性互動，提高課堂教學效率.

高中數學教案全集免費下載篇7

如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數，這個數列就叫做等比數列。這個常數叫做等比數列的`公比，公比通常用字母q表示。

(1)等比數列的通項公式是：An=A1×q^(n-1)

若通項公式變形為an=a1/q-q^n(n∈N-),當q>0時，則可把an看作自變量n的函數，點(n,an)是曲線y=a1/q-q^x上的一群孤立的點。

(2)任意兩項am，an的關系為an=am·q^(n-m)

(3)從等比數列的定義、通項公式、前n項和公式可以推出：a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…,n}

(4)等比中項：aq·ap=ar^2，ar則為ap，aq等比中項。

(5)等比求和：Sn=a1+a2+a3+.......+an

①當q≠1時，Sn=a1(1-q^n)/(1-q)或Sn=(a1-an×q)÷(1-q)

②當q=1時，Sn=n×a1(q=1)

記πn=a1·a2…an，則有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1

另外，一個各項均為正數的等比數列各項取同底數數后構成一個等差數列;反之，以任一個正數C為底，用一個等差數列的各項做指數構造冪Can，則是等比數列。在這個意義下，我們說：一個正項等比數列與等差數列是“同構”的。

高中數學教案全集免費下載篇8

教學準備

1.教學目標

1、知識與技能：

函數是描述客觀世界變化規律的重要數學模型．高中階段不僅把函數看成變量之間的依

賴關系，同時還用集合與對應的語言刻畫函數，高中階段更注重函數模型化的思想與意識．

2、過程與方法：

（1）通過實例，進一步體會函數是描述變量之間的依賴關系的重要數學模型，在此基礎上學習用集合與對應的語言來刻畫函數，體會對應關系在刻畫函數概念中的作用；

（2）了解構成函數的要素；

（3）會求一些簡單函數的定義域和值域；

（4）能夠正確使用“區間”的符號表示函數的定義域；

3、情感態度與價值觀，使學生感受到學習函數的必要性和重要性，激發學習的積極性.

教學重點/難點

重點：理解函數的模型化思想，用集合與對應的語言來刻畫函數；

難點：符號“y=f(x)”的含義，函數定義域和值域的區間表示；

教學用具

多媒體

4.標簽

函數及其表示

教學過程

（一）創設情景，揭示課題

1、復習初中所學函數的概念，強調函數的模型化思想；

2、閱讀課本引例，體會函數是描述客觀事物變化規律的數學模型的思想：

（1）炮彈的射高與時間的變化關系問題；

（2）南極臭氧空洞面積與時間的變化關系問題；

（3）“八五”計劃以來我國城鎮居民的恩格爾系數與時間的變化關系問題.

3、分析、歸納以上三個實例，它們有什么共同點；

4、引導學生應用集合與對應的語言描述各個實例中兩個變量間的依賴關系；

5、根據初中所學函數的概念，判斷各個實例中的兩個變量間的關系是否是函數關系．

（二）研探新知

1、函數的有關概念

（1）函數的概念：

設A、B是非空的數集，如果按照某個確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數x，在集合B中都有唯一確定的數f(x)和它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數（function）．

記作：y=f(x)，x∈A．

其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數的定義域（domain）；與x的值相對應的y值叫做函數值，函數值的.集合{f(x)x∈A}叫做函數的值域（range）．

注意：

①“y=f(x)”是函數符號，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；

②函數符號“y=f(x)”中的f(x)表示與x對應的函數值，一個數，而不是f乘x．

（2）構成函數的三要素是什么？

定義域、對應關系和值域

（3）區間的概念

①區間的分類：開區間、閉區間、半開半閉區間；

②無窮區間；

③區間的數軸表示．

（4）初中學過哪些函數？它們的定義域、值域、對應法則分別是什么？

通過三個已知的函數：y=ax+b(a≠0)

y=ax2+bx+c(a≠0)

y=(k≠0)比較描述性定義和集合，與對應語言刻畫的定義，談談體會.

師：歸納總結

（三）質疑答辯，排難解惑，發展思維。

1、如何求函數的定義域

例1：已知函數f(x)=+

（1）求函數的定義域；

（2）求f（－3），f()的值；

（3）當a＞0時，求f（a）,f(a－1)的值.

分析：函數的定義域通常由問題的實際背景確定，如前所述的三個實例.如果只給出解析式y=f(x)，而沒有指明它的定義域，那么函數的定義域就是指能使這個式子有意義的實數的集合，函數的定義域、值域要寫成集合或區間的形式．

例2、設一個矩形周長為80，其中一邊長為x，求它的面積關于x的函數的解析式，并寫出定義域.

分析：由題意知，另一邊長為x，且邊長x為正數，所以0＜x＜40.

所以s==（40－x）x（0＜x＜40）

引導學生小結幾類函數的定義域：

（1）如果f(x)是整式，那么函數的定義域是實數集R.

（2）如果f(x)是分式，那么函數的定義域是使分母不等于零的實數的集合.

（3）如果f(x)是二次根式，那么函數的定義域是使根號內的式子大于或等于零的實數的集合.

（4）如果f(x)是由幾個部分的數學式子構成的，那么函數定義域是使各部分式子都有意義的實數集合.（即求各集合的交集）

（5）滿足實際問題有意義.

鞏固練習：課本P19第1

2、如何判斷兩個函數是否為同一函數

例3、下列函數中哪個與函數y=x相等？

分析：

1、構成函數三個要素是定義域、對應關系和值域．由于值域是由定義域和對應關系決定的，所以，如果兩個函數的定義域和對應關系完全一致，即稱這兩個函數相等（或為同一函數）

2、兩個函數相等當且僅當它們的定義域和對應關系完全一致，而與表示自變量和函數值的字母無關。

解：

課本P18例2

（四）歸納小結

①從具體實例引入了函數的概念，用集合與對應的語言描述了函數的定義及其相關概念；

②初步介紹了求函數定義域和判斷同一函數的基本方法，同時引出了區間的概念.

（五）設置問題，留下懸念

1、課本P24習題1．2（A組）第1—7題（B組）第1題

2、舉出生活中函數的例子（三個以上），并用集合與對應的語言來描述函數，同時說出函數的定義域、值域和對應關系.

課堂小結

高中數學教案全集免費下載篇9

一.教學目標：

1.知識與技能

(1)理解兩個集合的并集與交集的含義，會求兩個簡單集合的交集與并集

(2)理解在給定集合中一個子集的補集的含義，會求給定子集的補集

(3)能使用venn圖表達集合的運算，體會直觀圖示對理解抽象概念的作用

2.過程與方法

學生通過觀察和類比，借助venn圖理解集合的基本運算

3.情感.態度與價值觀

(1)進一步樹立數形結合的思想

(2)進一步體會類比的作用

(3)感受集合作為一種語言，在表示數學內容時的簡潔和準確

二.教學重點.難點

重點：交集與并集，全集與補集的概念

難點：理解交集與并集的概念，符號之間的區別與聯系

三.學法與教學用具

1.學法：學生借助venn圖，通過觀察、類比、思考、交流和討論等，理解集合的基本運算

2.教學用具：投影儀

四.教學思路

(一)創設情景，揭示課題

問題1：我們知道，實數有加法運算。類比實數的加法運算，集合是否也可以“相加”呢?

請同學們考察下列各個集合，你能說出集合c與集合a、b之間的關系嗎?

引導學生通過觀察，類比、思考和交流，得出結論。教師強調集合也有運算，這就是我們本節課所要學習的內容。

(二)研探新知

l.并集

—般地，由所有屬于集合a或屬于集合b的元素所組成的集合，稱為集合a與b的并集

記作：a∪b

讀作：a并b

其含義用符號表示為：

用venn圖表示如下：

請同學們用并集運算符號表示問題1中a，b，c三者之間的關系

練習、檢查和反饋

(1)設a={4，5，6，8)，b={3，5，7，8)，求a∪b

(2)設集合

讓學生獨立完成后，教師通過檢查，進行反饋，并強調：

（1）在求兩個集合的并集時，它們的公共元素在并集中只能出現一次

(2)對于表示不等式解集的集合的運算，可借助數軸解題

2.交集

（1）思考：求集合的并集是集合間的一種運算，那么，集合間還有其他運算嗎？

請同學們考察下面的問題，集合a、b與集合c之間有什么關系？

②b={是新華中學20--年9月入學的高一年級同學}，c={是新華中學20--年9月入學的高一年級女同學}

教師組織學生思考、討論和交流，得出結論，從而得出交集的定義；

一般地，由屬于集合a且屬于集合b的所有元素組成的集合，稱為a與b的交集

記作：a∩b

讀作：a交b

其含義用符號表示為：

接著教師要求學生用venn圖表示交集運算

（2）練習、檢查和反饋

①設平面內直線上點的集合為，直線上點的集合為，試用集合的運算表示的位置關系

②學校里開運動會，設a={是參加一百米跑的同學}，b={是參加二百米跑的同學}，c={是參加四百米跑的同學}，學校規定，在上述比賽中，每個同學最多只能參加兩項比賽，請你用集合的運算說明這項規定，并解釋集合運算a∩b與a∩c的含義

學生獨立練習，教師檢查，作個別指導，并對學生中存在的問題進行反饋和糾正

（三）學生自主學習，閱讀理解

1．教師引導學生閱讀教材第10～11頁中有關補集的內容，并思考回答下例問題：

（1）什么叫全集？

（2）補集的含義是什么？用符號如何表示它的含義？用venn圖又表示？

（3）已知集合

（4）設s={是至少有一組對邊平行的四邊形}，a={是平行四邊形}，b={是菱形}，c={是矩形}，求。

在學生閱讀、思考的過程中，教師作個別指導，待學生經過閱讀和思考完后，請學生回答上述問題，并及時給予評價

（四）歸納整理，整體認識

1．通過對集合的學習，同學對集合這種語言有什么感受？

2．并集、交集和補集這三種集合運算有什么區別？

（五）作業

1．課外思考：對于集合的基本運算，你能得出哪些運算規律？

2．請你舉出現實生活中的一個實例，并說明其并集，交集和補集的現實含義

3．書面作業：教材第12頁習題1.1a組第7題和b組第4題

高中數學教案全集免費下載篇10

授課時間：08年9月12日

授課年級、科目、課題：高一數學集合的概念

使用教材：必修1（人教版）

說課教師：劉華

各位老師同學們，大家好！今天我說課的課題是“集合的概念”，本節內容選自高中數學必修1（人教版），下面我將主要從六個方面介紹我的教學方案。

一、教材分析：

教材的地位和作用：

集合是學習高中數學的重要工具之一，起著承前啟后的作用。本小節首先從初中代數與幾何涉及的集合實例人手，引出集合與集合的元素的概念，并且結合實例對集合的概念作了說明．然后，介紹了集合的常用表示方法，包括列舉法、描述法等，還給出了畫圖表示集合的例子．從教材我歸納出本節內容的教學重點和難點。

（一）教學重點：集合的基本概念和表示方法，集合元素的特征

（二）教學難點：運用集合的三種常用表示方法、列舉法與描述法，正確表示一些簡單的集合

二、教學目標：

（一）知識目標：

（1）使學生初步理解集合的概念，知道常用數集的概念及其記法；

（2）使學生初步了解“屬于”關系的意義；

（3）使學生初步了解有限集、無限集、空集的意義

（二）能力目標：

（1）重視基礎知識的教學、基本技能的訓練和能力的培養；

（2）啟發學生能夠發現問題和提出問題，善于獨立思考，學會分析問題和創造地解決問題；

（3）通過教師指導，發現知識結論，培養學生抽象概括能力和邏輯思維能力；

（三）德育目標：激發學生學習數學的興趣和積極性，陶冶學生的情

操，培養學生堅忍不拔的意志，實事求是的科學學習態度和勇于創新的精神。

三、學情分析：

針對現在的學生知識遷移能力差、計算能力差的特點，第一節課的內容不要求學生太多的計算，通過大量的舉例讓學生充分掌握集合的基礎知識。

四、教法分析：

為了突出重點、突破難點，本節課主要采用觀察、分析、類比、歸納的方法讓學生參與學習，將學生置于主體位置，發揮學生的主觀能動性，將知識的形成過程轉化為學生親自探索類比的過程，使學生獲得發現的成就感。在這個過程中力求把握好以下幾點:

（1）通過實例，讓學生去發現規律。讓學生在問題情景中，經歷知識的形成和發展，力求使學生學會用類比的思想去看待問題。

（2）營造民主的教學氛圍，使學生參與教學全過程。

（3）力求反饋的全面性、及時性，通過精心設計的提問，讓學生的思維動起來，針對學生回答的問題，老師進行適當的點評。

（4）給學生思考的時間和空間，不急于把結果拋給學生，讓學生自己去觀察，分析，類比得出結果，提高學生的推理能力。

五、教學過程

（一）復習導入

（1）簡介數集的發展，復習最大公約數和最小公倍數，質數與和數；

（2）教材中的章頭引言；

（3）教材中例子（P4）。

（二）講解新課

（1）集合的有關概念

（2）常用集合及表示方法

（3）元素對于集合的隸屬關系

（4）集合中元素的特性

（三）課堂練習

1下列各組對象能確定一個集合嗎？

（1）所有很大的實數的集合（不確定）

（2）好心的人的集合（不確定）

（3）{1，2，2，3，4，5}（有重復）

（4）所有直角三角形的集合（是的）

（5）高一（12）班全體同學的集合（是的）

（6）參加20--年奧運會的中國代表團成員的集合（是的）

2、教材P5練習1、2

六：總結

1.本節主要學習了集合的基本概念、表示符號;一些常用數集及其記法；集合的元素與集合之間的關系；以及集合元素具有的特征.

2.我們在進一步復習鞏固集合有關概念的基礎上，又學習了集合的表示方法和有限集、無限集、空集的概念，同學們要熟練掌握.

高中數學教案全集免費下載篇11

一.說教材

1.本節課主要內容是線性規劃的意義以及線性約束條件、線性目標函數、可行域、可行解、最優解等概念，根據約束條件建立線性目標函數。應用線性規劃的圖解法解決一些實際問題。

2.地位作用：線性規劃是數學規劃中理論較完整、方法較成熟、應用較廣泛的一個分支，它可以解決科學研究、工程設計、經濟管理等許多方面的實際問題。簡單的線性規劃是在學習了直線方程的基礎上，介紹直線方程的一個簡單應用。通過這部分內容的學習，使學生進一步了解數學在解決實際問題中的應用，以培養學生學習數學的興趣、應用數學的意識和解決實際問題的能力。

3.教學目標

(1)知識與技能：了解線性規劃的意義以及線性約束條件、線性目標函數、可行域、可行解、最優解等概念，能根據約束條件建立線性目標函數。

了解并初步應用線性規劃的圖解法解決一些實際問題。

(2)過程與方法：提高學生數學地提出、分析和解決問題的能力，發展學生數學應用意識，力求對現實世界中蘊含的一些數學模式進行思考和作出判斷。

(3)情感、態度與價值觀：體會數形結合、等價轉化等數學思想，逐步認識數學的應用價值，提高學習數學的興趣，樹立學好數學的自信心。

4.重點與難點

重點：理解和用好圖解法

難點：如何用圖解法尋找線性規劃的最優解。

二.說教學方法

教學過程是教師和學生共同參與的過程，啟發學生自主性學習,充分調動學生的積極性、主動性;有效地滲透數學思想方法，提高學生素質。根據這樣的原則和所要完成的教學目標，并為激發學生的學習興趣，我采用如下的教學方法：

(1)啟發引導學生思考、分析、實驗、探索、歸納。這能充分調動學生的主動性和積極性。

(2)采用“從特殊到一般”、“化抽象為具體”、“化靜為動”的方法。這有利于學生對知識進行主動建構;有利于突出重點、解決難點;也有利于發揮學生的創造性。

(3)體現“等價轉化”、“數形結合”的思想方法。這樣可發揮學生的主觀能動性，有利于提高學生的各種能力。

三.說學法指導

教給學生方法比教給學生知識更重要，本節課注重調動學生積極思考、主動探索，盡可能地增加學生參與教學活動的時間和空間，我進行了以下學法指導：觀察分析、聯想轉化、動手實驗、練習鞏固。

(1)觀察分析：通過引例讓學生觀察化舊知為新知，造成學生認知沖突。

(2)聯想轉化：學生通過分析、探索、得出解決問題的方法。

(3)動手實驗：通過作圖、實驗、從而得出一般解題步驟。

(4)練習鞏固：讓學生知道數學重在運用，從而檢驗知識的應用情況，找出未掌握的內容及其差距。

四.說教學程序

1、導入課題：由一個不等式組表示平面區域轉化為在此平面區域內一二元一次數的最值問題，造成學生認知沖突。

3、導學達標之一：創設情境、形成概念

通過引例的問題讓學生探索解決新問題的方法。

(設計意圖：利用已經學過的知識逐步分析，學以致用，使學生經歷數學知識的形成過程，從而提高學生數學的地提出、分析和解決問題的能力。)

然后老師逐步引導，動手實驗，化抽象為直觀。從而得到解決此類問題的方法，并對比引例給出相關概念：線性約束條件、目標函數、線性目標函數、線性規劃、可行解、可行域、最優解。并能根據引例提煉線性規劃問題的解法——圖解法。

(設計意圖：引導學生觀察和分析問題，激發學生的探索欲望，從而培養學生的解決問題和總結歸納的能力。)

4.導學達標之二：針對問題、舉例講解、形成技能

例一：課本61頁例3

(創設意境：，練習是使學生明白數學來源于實際又運用于實際，同時使學生進初步應用線性規劃的圖解法解決一些實際問題。)

6.鞏固目標：

練習一：學生做課堂練習P64例4

(叫學生提出解決問題的方法，并用多媒體展示，并根據問題的實際意義，考慮取值范圍。造成新的認知沖突，從而研究探索，得到整點最優解的一種求法。)

練習二：為了賺大錢，老張最近承包了一家具廠，可老張卻悶悶不樂，原來家具廠有方木料90m3，五合板600m2，老張準備加工成書桌和書廚出售，他通過調查了解到：生產每張書桌需要方木料0.1m3、五合板2m2，生產每個書櫥需要方木料0.2m3、五合板1m2，出售一張書桌可獲利潤80元，出售一個書櫥可獲利潤120元。老張卻不知如何安排?(電腦顯示問題)

(設計意圖：通過實際問題，激發學生興趣，培養學生的數學應用意識，力求學生能夠對現實生活中蘊含的一些數學模式進行思考和作出判斷。)

7.歸納與小結：

小結本課的主要學習內容是什么?(由師生共同來完成本課小結)

(創設意境：讓學生參與小結，引導學生對所學知識進行反思，有利于加強學生記憶和形成良好的數學思維習慣)

8.布置作業：

P64.2

五.說板書設計

板書設計為表格式，這樣的板書簡明清楚，重點突出，加深學生對重點知識的理解和掌握，同時便于記憶，有利于提高教學效果。

高中數學教案全集免費下載篇12

教學分析

本節課的研究是對初中不等式學習的延續和拓展，也是實數理論的進一步發展.在本節課的學習過程中，將讓學生回憶實數的基本理論，并能用實數的基本理論來比較兩個代數式的大小.

通過本節課的學習， 讓學生從一系列的具體問題情境中，感受到在現實世界和日常生活中存在著大量的不等關系，并充分認識不等關系的存在與應用.對不等關系的相關素材，用數學觀點進行觀察、歸納、抽象，完成量與量的比較過程.即能用不等式或不等式組把這些不等關系表示出來.在本節課的學習過程中還安排了一些簡單的、學生易于處理的問題，其用意在于讓學生注意對數學知識和方法的應用，同時也能激發學生的學習興趣，并由衷地產生用數學工具研究不等關系的愿望.根據本節課的教學內容，應用再現、回憶得出實數的基本理論，并能用實數的基本理論來比較兩個代數式的大小.

在本節教學中，教師可讓學生閱讀書中實例，充分利用數軸這一簡單的數形結合工具，直接用實數與數軸上 點的一一對應關系，從數與形兩方面建立實數的順序關系.要在溫故知新的基礎上提高學生對不等式的認識.

三維目標

1.在學生了解不等式產生的實際背景下，利用數軸回憶實數的基本理論，理解實數的大小關系，理解實數大小與數軸上對應點位置間的關系.

2.會用作差法判斷實數與代數式的大小，會用配方法判斷二次式的大小和范圍.

3.通過溫故知新，提高學生對不等式的認識，激發學生的學習興趣，體會數學的奧秘與數學的結構美.

重點難點

教學重點：比較實數與代數式的大小關系，判斷二次式的大小和范圍.

教學難點：準確比較兩個代數式的大小.

課時安排

1課時

教學過程

導入新課

思路1.(章頭圖導入)通過多媒體展示衛星、飛船和一幅山巒重疊起伏的壯觀畫面，它將學生帶入“橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同”的大自然和浩瀚的宇宙中，使學生在具體情境中感受到不等關系在現實世界和日常生活中是大量存在的，由此產生用數學研究不等關系的強烈愿望，自然地引入新課.

思路2.(情境導入)列舉出學生身體的高矮、身體的輕重、距離學校路程的遠近、百米賽跑的時間、數學成績的多少等現實生活中學生身邊熟悉的事例，描述出某種客觀事物在數量上存在的不等關系.這些不等關系怎樣在數學上表示出來呢?讓學生自由地展開聯想，教師組織不等關系的相關素材，讓學 生用數學的觀點進行觀察、歸納，使學生在具體情境中感受到不等關系與相等關系一樣，在現實世界和日常生活中大量存在著.這樣學生會由衷地產生用數學工具研究不等關系的愿望，從而進入進一步的探究學習，由此引入新課.

推進新課

新知探究

提出問題

?1?回憶初中學過的不等式，讓學生說出“不等關系”與“不等式”的異同.怎樣利用不等式研究及表示不等關系?

?2?在現實世界和日常生活中，既有相等關系，又存在著大量的不等關系.你能舉出一些實際例子嗎?

?3?數軸上的任意兩 點與對應的兩實數具有怎樣的關系?

?4?任意兩個實數具有怎樣的關系?用邏輯用語怎樣表達這個關系?

活動：教師引導學生回憶初中學過的不等式概念，使學生明確“不等關系”與“不等式”的異同.不等關系強調的是關系，可用符號“>”“<”“≠”“≥”“≤”表示，而不等式則是表示兩者的不等關系，可用“a>b”“a

教師與學生一起舉出我們日常生活中不等關系的例子，可讓學生充分合作討論，使學生感受到現實世界中存在著大量的不等關系.在學生了解了一些不等式產生的實際背景的前提下，進一步學習不等式的有關內容.

實例1：某天的天氣預報報道，氣溫32 ℃，最低氣溫26 ℃.

實例2：對于數軸上任意不同的兩點A、B，若點A在點B的左邊，則xA

實例3：若一個數是非負數，則這個數大于或等于零.

實例4：兩點之間線段最短.

實例5：三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊.

實例6：限速40 km/h的路標指示司機在前方路段行駛時，應使汽車的速度v不超過40 km/h.

實例7：某品牌酸奶的質量檢查規定，酸奶中脂肪的含量f應不少于2.5%，蛋白質的含量p應不少于2.3%.

教師進一步點撥：能夠發現身 邊的數學當然很好，這說明同學們已經走進了數學這門學科，但作為我們研究數學的人來說，能用數學的眼光、數學的觀點進行觀察、歸納、抽象，完成這些量與量的比較過程，這是我們每個研究數學的人必須要做的，那么，我們可以用我們所研究過的什么知識來表示這些不等關系呢?學生很容易想到，用不等式或不等式組來表示這些不等關系.那么不等式就是用不等號將兩個代數式連結起來所成的式子.如-7<-5，3+4>1+4,2x≤6，a+2≥0,3≠4,0≤5等.

教師引導學生將上述的7個實例用不等式表示出來.實例1，若用t表示某天的氣溫，則26 ℃≤t≤32 ℃.實例3，若用x表示一個非負數，則x≥0.實例5，|AC|+|BC|>|AB|，如下圖.

|AB|+|BC|>|AC|、|AC|+|BC|>|AB|、|AB|+|AC|>|BC|.

|AB|-|BC|<|AC|、|AC|-|BC|<|AB|、|AB|-|AC|<|BC|.交換被減數與減數的位置也可以.

實例6，若用v表示速度，則v≤40 km/h.實例7，f≥2.5%，p≥2.3%.對于實例7，教師應點撥學生注意酸奶中的脂肪含量與蛋白質含量需同時滿足，避免寫成f≥2.5%或p≥2.3%，這是不對的.但可表示為f≥2.5%且p≥2.3%.

對以上問題，教師讓學生輪流回答，再用投影儀給出課本上的兩個結論.

討論結果：

(1)(2)略;(3)數軸上任意兩點中，右邊點對應的實數比左邊點對應的實數大.

(4)對于任意兩個實數a和b，在a=b，a>b，a應用示例

例1(教材本節例1和例2)

活動：通過兩例讓學生熟悉兩個代數式的大小比較的基本方法：作差，配方法.

點評：本節兩例的求解，是借助因式分解和應用配方法完成的，這兩種方法是代數式變形時經常使用的方法，應讓學生熟練掌握.

變式訓練

1.若f(x)=3x2-x+1，g(x)=2x2+x-1，則f(x)與g(x)的大小關系是(　　)

A.f(x)>g(x)　　　　　　 B.f(x)=g(x)

C.f(x)

答案：A

解析：f(x)-g(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1≥1>0，∴f(x)>g(x).

2.已知x≠0，比較(x2+1)2與x4+x2+1的大小.

解：由(x2+1)2-(x4+x2+1)=x4+2x2+1-x4-x2-1=x2.

∵x≠0，得x2>0.從而(x2+1)2>x4+x2+1.

例2比較下列各組數的大小(a≠b).

(1)a+b2與21a+1b(a>0，b>0);

(2)a4-b4與4a3(a-b).

活動：比較兩個實數的大小，常根據實數的運算性質與大小順序的關系，歸結為判斷它們的差的符號來確定.本例可由學生獨立完成，但要點撥學生在最后的符號判斷說理中，要理由充分，不可忽略這點.

解：(1)a+b2-21a+1b=a+b2-2aba+b=?a+b?2-4ab2?a+b?=?a-b?22?a+b?.

∵a>0，b>0且a≠b，∴a+b>0，(a-b)2>0.∴?a-b?22?a+b?>0，即a+b2>21a+1b.

(2)a4-b4-4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2)-4a3(a-b)

=(a-b)(a3+a2b+ab2+b3-4a3)=(a-b)[(a2b-a3)+(ab2-a3)+(b3-a3)]

=-(a-b)2(3a2+2ab+b2)=-(a-b)2[2a2+(a+b)2].

∵2a2+(a+b)2≥0(當且僅當a=b=0時取等號)，

又a≠b，∴(a-b)2>0,2a2+(a+b)2>0.∴-(a-b)2[2a2+(a+b)2]<0.

∴a4-b4<4a3(a-b).

點評：比較大小常用作差法，一般步驟是作差——變形——判斷符號.變形常用的手段是分解因式和配方，前者將“差”變為“積”，后者將“差”化為一個或幾個完全平方式的“和”，也可兩者并用.

變式訓練

已知x>y，且y≠0，比較xy與1的大小.

活動：要比較任意兩個數或式的大小關系，只需確定它們的差與0的大小關系.

解：xy-1=x-yy.

∵x>y，∴x-y>0.

當y<0時，x-yy<0，即xy-1<0. ∴xy<1;

當y>0時，x-yy>0，即xy-1>0.∴xy>1.

點評：當字母y取不同范圍的值時，差xy-1的正負情況不同，所以需對y分類討論.

例3建筑設計規定，民用住宅的窗戶面積必須小于地板面積.但按采光標準，窗戶面積與地板面積的比值應不小于10%，且這個比值越大，住宅的采光條件越好.試問：同時增加相等的窗戶面積和地板面積， 住宅的采光條件是變好了，還是變壞了?請說明理由.

活動：解題關鍵首先是把文 字語言轉換成數學語言，然后比較前后比值的大小，采用作差法.

解：設住宅窗戶面積和地板面積分別為a、b，同時增加的面積為m，根據問題的要求a

由于a+mb+m-ab=m?b-a?b?b+m?>0，于是a+mb+m>ab.又ab≥10%，

因此a+mb+m>ab≥10%.

所以同時增加相等的窗戶面積和地板面積后，住宅的采光條件變好了.

點評：一般地，設a、b為正實數，且a

變式訓練

已知a1，a2，…為各項都大于零的等比數列，公比q≠1，則(　　)

A.a1+a8>a4+a5　　　　　　　 B.a1+a8

C.a1+a8=a4+a5 D.a1+a8與a4+a5大小不確定

答案：A

解析：(a1+a8)-(a4+a5)=a1+a1q7-a1q3-a1q4

=a1[(1-q3)-q4(1-q3)]=a1(1-q)2(1+q+q2)(1+q)(1+q2).

∵{an}各項都大于零，∴q>0，即1+q>0.

又∵q≠1，∴(a1+a8)-(a4+a5)>0，即a1+a8>a4+a5.

課堂小結

1.教師與學生共同完成本節課的小結，從實數的基本性質的回顧，到兩個實數大小的比較方法;從例題的活動探究點評，到緊跟著的變式訓練，讓學生去繁就簡，聯系舊知，將本節課所學納入已有的知識體系中.

2.教師畫龍點睛，點撥利用實數的基本性質對兩個實數大小比較時易錯的地方.鼓勵學有余力的學生對節末的思考與討論在課后作進一步的探究.

作業

習題3—1A組3;習題3—1B組2.

設計感想

1.本節設計關注了教學方法 的優化.經驗告訴我們：課堂上應根據具體情況，選擇、設計最能體現教學規律的教學 過程，不宜長期使用一種固定的教學方法，或原封不動地照搬一種實驗模式.各種教學方法中，沒有一種能很好地適應一切教學活動.也就是說，世上沒有萬能的教學方法.針對個性，靈活變化，因材施教才是成功的施教靈藥.

2.本節設計注重了難度控制.不等式內容應用面廣，可以說與其他所有內容都有交匯，歷 來是高考的重點與熱點.作為本章開始，可以適當開闊一些，算作拋磚引玉，讓學生有個自由探究聯想的平臺，但不宜過多向外拓展，以免對學生產生負面影響.

3.本節設計關注了學生思維能力的訓練.訓練學生的思維能力，提升思維的品質，是數學教師直面的重要課題，也是中學數學教育的主線.采用一題多解有助于思維的發散性及靈活性，克服思維的僵化.變式訓練教學又可以拓展學生思維視野的廣度，解題后的點撥反思有助于學生思維批判性品質的提升.