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高中數(shù)學(xué)余弦定理教案1

【考綱要求】

了解雙曲線的定義，幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，知道它的簡(jiǎn)單性質(zhì)。

【自學(xué)質(zhì)疑】

1.雙曲線 的 軸在 軸上， 軸在 軸上，實(shí)軸長(zhǎng)等于 ，虛軸長(zhǎng)等于 ，焦距等于 ，頂點(diǎn)坐標(biāo)是 ，焦點(diǎn)坐標(biāo)是 ，

漸近線方程是 ，離心率 ，若點(diǎn) 是雙曲線上的點(diǎn)，則 ， 。

2.又曲線 的左支上一點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離是7，則這點(diǎn)到雙曲線的右焦點(diǎn)的距離是

3.經(jīng)過兩點(diǎn) 的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是 。

4.雙曲線的漸近線方程是 ，則該雙曲線的離心率等于 。

5.與雙曲線 有公共的漸近線，且經(jīng)過點(diǎn) 的雙曲線的方程為

【例題精講】

1.雙曲線的離心率等于 ，且與橢圓 有公共焦點(diǎn)，求該雙曲線的方程。

2.已知橢圓具有性質(zhì)：若 是橢圓 上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn) 是橢圓上任意一點(diǎn)，當(dāng)直線 的斜率都存在，并記為 時(shí)，那么 之積是與點(diǎn) 位置無關(guān)的定值，試對(duì)雙曲線 寫出具有類似特性的性質(zhì)，并加以證明。

3.設(shè)雙曲線 的半焦距為 ，直線 過 兩點(diǎn)，已知原點(diǎn)到直線 的距離為 ，求雙曲線的離心率。

【矯正鞏固】

1.雙曲線 上一點(diǎn) 到一個(gè)焦點(diǎn)的距離為 ，則它到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為 。

2.與雙曲線 有共同的漸近線，且經(jīng)過點(diǎn) 的雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)到一條漸近線的距離是 。

3.若雙曲線 上一點(diǎn) 到它的右焦點(diǎn)的距離是 ，則點(diǎn) 到 軸的距離是

4.過雙曲線 的左焦點(diǎn) 的直線交雙曲線于 兩點(diǎn)，若 。則這樣的直線一共有 條。

【遷移應(yīng)用】

1. 已知雙曲線 的焦點(diǎn)到漸近線的距離是其頂點(diǎn)到漸近線距離的2倍，則該雙曲線的離心率

2. 已知雙曲線 的焦點(diǎn)為 ，點(diǎn) 在雙曲線上，且 ，則點(diǎn) 到 軸的距離為 。

3. 雙曲線 的焦距為

4. 已知雙曲線 的一個(gè)頂點(diǎn)到它的一條漸近線的距離為 ，則

5. 設(shè) 是等腰三角形， ，則以 為焦點(diǎn)且過點(diǎn) 的雙曲線的離心率為 .

6. 已知圓 。以圓 與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別作為雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)和頂點(diǎn)，則適合上述條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

高中數(shù)學(xué)余弦定理教案2

教學(xué)目標(biāo)

(1)使學(xué)生正確理解組合的意義，正確區(qū)分排列、組合問題;

(2)使學(xué)生掌握組合數(shù)的計(jì)算公式;

(3)通過學(xué)習(xí)組合知識(shí)，讓學(xué)生掌握類比的學(xué)習(xí)方法，并提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力;

教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)

重點(diǎn)是組合的定義、組合數(shù)及組合數(shù)的公式;

難點(diǎn)是解組合的應(yīng)用題.

教學(xué)過程設(shè)計(jì)

(-)導(dǎo)入新課

(教師活動(dòng))提出下列思考問題，打出字幕.

[字幕]一條鐵路線上有6個(gè)火車站，(1)需準(zhǔn)備多少種不同的普通客車票?(2)有多少種不同票價(jià)的普通客車票?上面問題中，哪一問是排列問題?哪一問是組合問題?

(學(xué)生活動(dòng))討論并回答.

答案提示：(1)排列;(2)組合.

[評(píng)述]問題(1)是從6個(gè)火車站中任選兩個(gè)，并按一定的順序排列，要求出排法的種數(shù)，屬于排列問題;(2)是從6個(gè)火車站中任選兩個(gè)并成一組，兩站無順序關(guān)系，要求出不同的組數(shù)，屬于組合問題.這節(jié)課著重研究組合問題.

設(shè)計(jì)意圖：組合與排列所研究的問題幾乎是平行的.上面設(shè)計(jì)的問題目的是從排列知識(shí)中發(fā)現(xiàn)并提出新的問題.

(二)新課講授

[提出問題 創(chuàng)設(shè)情境]

(教師活動(dòng))指導(dǎo)學(xué)生帶著問題閱讀課文.

[字幕]1.排列的定義是什么?

2.舉例說明一個(gè)組合是什么?

3.一個(gè)組合與一個(gè)排列有何區(qū)別?

(學(xué)生活動(dòng))閱讀回答.

(教師活動(dòng))對(duì)照課文，逐一評(píng)析.

設(shè)計(jì)意圖：激活學(xué)生的思維，使其將所學(xué)的知識(shí)遷移過渡，并盡快適應(yīng)新的環(huán)境.

【歸納概括 建立新知】

(教師活動(dòng))承接上述問題的回答，展示下面知識(shí).

[字幕]模型：從 個(gè)不同元素中取出 個(gè)元素并成一組，叫做從 個(gè)不同元素中取出 個(gè)元素的一個(gè)組合.如前面思考題：6個(gè)火車站中甲站→乙站和乙站→甲站是票價(jià)相同的車票，是從6個(gè)元素中取出2個(gè)元素的一個(gè)組合.

組合數(shù)：從 個(gè)不同元素中取出 個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，稱之，用符號(hào) 表示，如從6個(gè)元素中取出2個(gè)元素的組合數(shù)為 .

[評(píng)述]區(qū)分一個(gè)排列與一個(gè)組合的關(guān)鍵是：該問題是否與順序有關(guān)，當(dāng)取出元素后，若改變一下順序，就得到一種新的取法，則是排列問題;若改變順序，仍得原來的取法，就是組合問題.

(學(xué)生活動(dòng))傾聽、思索、記錄.

(教師活動(dòng))提出思考問題.

[投影] 與 的關(guān)系如何?

(師生活動(dòng))共同探討.求從 個(gè)不同元素中取出 個(gè)元素的排列數(shù) ，可分為以下兩步：

第1步，先求出從這 個(gè)不同元素中取出 個(gè)元素的組合數(shù)為 ;

第2步，求每一個(gè)組合中 個(gè)元素的全排列數(shù)為 .根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，得到

[字幕]公式1：

公式2：

(學(xué)生活動(dòng))驗(yàn)算 ，即一條鐵路上6個(gè)火車站有15種不同的票價(jià)的普通客車票.

設(shè)計(jì)意圖：本著以認(rèn)識(shí)概念為起點(diǎn)，以問題為主線，以培養(yǎng)能力為核心的宗旨，逐步展示知識(shí)的形成過程，使學(xué)生思維層層被激活、逐漸深入到問題當(dāng)中去.

【例題示范 探求方法】

(教師活動(dòng))打出字幕，給出示范，指導(dǎo)訓(xùn)練.

[字幕]例1 列舉從4個(gè)元素 中任取2個(gè)元素的所有組合.

例2 計(jì)算：(1) ;(2) .

(學(xué)生活動(dòng))板演、示范.

(教師活動(dòng))講評(píng)并指出用兩種方法計(jì)算例2的第2小題.

[字幕]例3 已知 ，求 的所有值.

(學(xué)生活動(dòng))思考分析.

解 首先，根據(jù)組合的定義，有

①

其次，由原不等式轉(zhuǎn)化為

即

解得 ②

綜合①、②，得 ，即

[點(diǎn)評(píng)]這是組合數(shù)公式的應(yīng)用，關(guān)鍵是公式的選擇.

設(shè)計(jì)意圖：例題教學(xué)循序漸進(jìn)，讓學(xué)生鞏固知識(shí)，強(qiáng)化公式的應(yīng)用，從而培養(yǎng)學(xué)生的綜合分析能力.

【反饋練習(xí) 學(xué)會(huì)應(yīng)用】

(教師活動(dòng))給出練習(xí)，學(xué)生解答，教師點(diǎn)評(píng).

[課堂練習(xí)]課本P99練習(xí)第2，5，6題.

[補(bǔ)充練習(xí)]

[字幕]1.計(jì)算：

2.已知 ，求 .

(學(xué)生活動(dòng))板演、解答.

設(shè)計(jì)意圖：課堂教學(xué)體現(xiàn)以學(xué)生為本，讓全體學(xué)生參與訓(xùn)練，深刻揭示排列數(shù)公式的結(jié)構(gòu)、特征及應(yīng)用.

(三)小結(jié)

(師生活動(dòng))共同小結(jié).

本節(jié)主要內(nèi)容有

1.組合概念.

2.組合數(shù)計(jì)算的兩個(gè)公式.

(四)布置作業(yè)

1.課本作業(yè)：習(xí)題10 3第1(1)、(4)，3題.

2.思考題：某學(xué)習(xí)小組有8個(gè)同學(xué)，從男生中選2人，女生中選1人參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)三種學(xué)科競(jìng)賽，要求每科均有1人參加，共有180種不同的選法，那么該小組中，男、女同學(xué)各有多少人?

3.研究性題：

在 的 邊上除頂點(diǎn) 外有 5個(gè)點(diǎn)，在 邊上有 4個(gè)點(diǎn)，由這些點(diǎn)(包括 )能組成多少個(gè)四邊形?能組成多少個(gè)三角形?

(五)課后點(diǎn)評(píng)

在學(xué)習(xí)了排列知識(shí)的基礎(chǔ)上，本節(jié)課引進(jìn)了組合概念，并推導(dǎo)出組合數(shù)公式，同時(shí)調(diào)控進(jìn)行訓(xùn)練，從而培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力.

高中數(shù)學(xué)余弦定理教案3

教學(xué)目標(biāo)

(1)正確理解排列的意義。能利用樹形圖寫出簡(jiǎn)單問題的所有排列;

(2)了解排列和排列數(shù)的意義，能根據(jù)具體的問題，寫出符合要求的排列;

(3)掌握排列數(shù)公式，并能根據(jù)具體的問題，寫出符合要求的排列數(shù);

(4)會(huì)分析與數(shù)字有關(guān)的排列問題，培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力和邏輯思維能力;

(5)通過對(duì)排列應(yīng)用問題的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生通過對(duì)具體事例的觀察、歸納中找出規(guī)律，得出結(jié)論，以培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度。

教學(xué)建議

一、知識(shí)結(jié)構(gòu)

二、重點(diǎn)難點(diǎn)分析

本小節(jié)的重點(diǎn)是排列的定義、排列數(shù)及排列數(shù)的公式，并運(yùn)用這個(gè)公式去解決有關(guān)排列數(shù)的應(yīng)用問題.難點(diǎn)是導(dǎo)出排列數(shù)的公式和解有關(guān)排列的應(yīng)用題.突破重點(diǎn)、難點(diǎn)的關(guān)鍵是對(duì)加法原理和乘法原理的掌握和運(yùn)用，并將這兩個(gè)原理的基本思想方法貫穿在解決排列應(yīng)用問題當(dāng)中.

從n個(gè)不同元素中任取m(m≤n)個(gè)元素，按照一定的順序排成一列，稱為從n個(gè)不同元素中任取m個(gè)元素的一個(gè)排列.因此，兩個(gè)相同排列，當(dāng)且僅當(dāng)他們的元素完全相同，并且元素的排列順序也完全相同.排列數(shù)是指從n個(gè)不同元素中任取m(m≤n)個(gè)元素的所有不同排列的種數(shù)，只要弄清相同排列、不同排列，才有可能計(jì)算相應(yīng)的排列數(shù).排列與排列數(shù)是兩個(gè)概念，前者是具有m個(gè)元素的排列，后者是這種排列的不同種數(shù).從集合的角度看，從n個(gè)元素的有限集中取出m個(gè)組成的有序集，相當(dāng)于一個(gè)排列，而這種有序集的個(gè)數(shù)，就是相應(yīng)的排列數(shù).

公式推導(dǎo)要注意緊扣乘法原理，借助框圖的直視解釋來講解.要重點(diǎn)分析好 的推導(dǎo).

排列的應(yīng)用題是本節(jié)教材的難點(diǎn)，通過本節(jié)例題的分析，應(yīng)注意培養(yǎng)學(xué)生解決應(yīng)用問題的能力.

在分析應(yīng)用題的解法時(shí)，教材上先畫出框圖，然后分析逐次填入時(shí)的種數(shù)，這樣解釋比較直觀，教學(xué)上要充分利用，要求學(xué)生作題時(shí)也應(yīng)盡量采用.

在教學(xué)排列應(yīng)用題時(shí)，開始應(yīng)要求學(xué)生寫解法要有簡(jiǎn)要的文字說明，防止單純的只寫一個(gè)排列數(shù)，這樣可以培養(yǎng)學(xué)生的分析問題的能力，在基本掌握之后，可以逐漸地不作這方面的要求.

三、教法建議

①在講解排列數(shù)的概念時(shí)，要注意區(qū)分“排列數(shù)”與“一個(gè)排列”這兩個(gè)概念.一個(gè)排列是指“從n個(gè)不同元素中，任取出m個(gè)元素，按照一定的順序擺成一排”，它不是一個(gè)數(shù)，而是具體的一件事;排列數(shù)是指“從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)”，它是一個(gè)數(shù).例如，從3個(gè)元素a，b，c中每次取出2個(gè)元素，按照一定的順序排成一排，有如下幾種：

ab，ac，ba，bc，ca，cb，

其中每一種都叫一個(gè)排列，共有6種，而數(shù)字6就是排列數(shù)，符號(hào) 表示排列數(shù).

②排列的定義中包含兩個(gè)基本內(nèi)容，一是“取出元素”，二是“按一定順序排列”.

從定義知，只有當(dāng)元素完全相同，并且元素排列的順序也完全相同時(shí)，才是同一個(gè)排列，元素完全不同，或元素部分相同或元素完全相同而順序不同的排列，都不是同一排列。叫不同排列.

在定義中“一定順序”就是說與位置有關(guān)，在實(shí)際問題中，要由具體問題的性質(zhì)和條件來決定，這一點(diǎn)要特別注意，這也是與后面學(xué)習(xí)的組合的根本區(qū)別.

在排列的定義中 ，如果 有的書上叫選排列，如果 ，此時(shí)叫全排列.

要特別注意，不加特殊說明，本章不研究重復(fù)排列問題.

③關(guān)于排列數(shù)公式的推導(dǎo)的教學(xué).公式推導(dǎo)要注意緊扣乘法原理，借助框圖的直視解釋來講解.課本上用的是不完全歸納法，先推導(dǎo) ， ，…，再推廣到 ，這樣由特殊到一般，由具體到抽象的講法，學(xué)生是不難理解的.

導(dǎo)出公式 后要分析這個(gè)公式的構(gòu)成特點(diǎn)，以便幫助學(xué)生正確地記憶公式，防止學(xué)生在“n”、“m”比較復(fù)雜的時(shí)候把公式寫錯(cuò).這個(gè)公式的特點(diǎn)可見課本第229頁的一段話：“其中，公式右邊第一個(gè)因數(shù)是n，后面每個(gè)因數(shù)都比它前面一個(gè)因數(shù)少1，最后一個(gè)因數(shù)是 ，共m個(gè)因數(shù)相乘.”這實(shí)際是講三個(gè)特點(diǎn)：第一個(gè)因數(shù)是什么?最后一個(gè)因數(shù)是什么?一共有多少個(gè)連續(xù)的自然數(shù)相乘.

公式 是在引出全排列數(shù)公式 后，將排列數(shù)公式變形后得到的公式.對(duì)這個(gè)公式指出兩點(diǎn)：(1)在一般情況下，要計(jì)算具體的排列數(shù)的值，常用前一個(gè)公式，而要對(duì)含有字母的排列數(shù)的式子進(jìn)行變形或作有關(guān)的論證，要用到這個(gè)公式，教材中第230頁例2就是用這個(gè)公式證明的問題;(2)為使這個(gè)公式在 時(shí)也能成立，規(guī)定 ，如同 時(shí) 一樣，是一種規(guī)定，因此，不能按階乘數(shù)的原意作解釋.

④建議應(yīng)充分利用樹形圖對(duì)問題進(jìn)行分析，這樣比較直觀，便于理解.

⑤學(xué)生在開始做排列應(yīng)用題的作業(yè)時(shí)，應(yīng)要求他們寫出解法的簡(jiǎn)要說明，而不能只列出算式、得出答數(shù)，這樣有利于學(xué)生得更加扎實(shí).隨著學(xué)生解題熟練程度的提高，可以逐步降低這種要求.

高中數(shù)學(xué)余弦定理教案4

教學(xué)分析

本節(jié)課的研究是對(duì)初中不等式學(xué)習(xí)的延續(xù)和拓展，也是實(shí)數(shù)理論的進(jìn)一步發(fā)展.在本節(jié)課的學(xué)習(xí)過程中，將讓學(xué)生回憶實(shí)數(shù)的基本理論，并能用實(shí)數(shù)的基本理論來比較兩個(gè)代數(shù)式的大小.

通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)， 讓學(xué)生從一系列的具體問題情境中，感受到在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中存在著大量的不等關(guān)系，并充分認(rèn)識(shí)不等關(guān)系的存在與應(yīng)用.對(duì)不等關(guān)系的相關(guān)素材，用數(shù)學(xué)觀點(diǎn)進(jìn)行觀察、歸納、抽象，完成量與量的比較過程.即能用不等式或不等式組把這些不等關(guān)系表示出來.在本節(jié)課的學(xué)習(xí)過程中還安排了一些簡(jiǎn)單的、學(xué)生易于處理的問題，其用意在于讓學(xué)生注意對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)和方法的應(yīng)用，同時(shí)也能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，并由衷地產(chǎn)生用數(shù)學(xué)工具研究不等關(guān)系的愿望.根據(jù)本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容，應(yīng)用再現(xiàn)、回憶得出實(shí)數(shù)的基本理論，并能用實(shí)數(shù)的基本理論來比較兩個(gè)代數(shù)式的大小.

在本節(jié)教學(xué)中，教師可讓學(xué)生閱讀書中實(shí)例，充分利用數(shù)軸這一簡(jiǎn)單的數(shù)形結(jié)合工具，直接用實(shí)數(shù)與數(shù)軸上 點(diǎn)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，從數(shù)與形兩方面建立實(shí)數(shù)的順序關(guān)系.要在溫故知新的基礎(chǔ)上提高學(xué)生對(duì)不等式的認(rèn)識(shí).

三維目標(biāo)

1.在學(xué)生了解不等式產(chǎn)生的實(shí)際背景下，利用數(shù)軸回憶實(shí)數(shù)的基本理論，理解實(shí)數(shù)的大小關(guān)系，理解實(shí)數(shù)大小與數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置間的關(guān)系.

2.會(huì)用作差法判斷實(shí)數(shù)與代數(shù)式的大小，會(huì)用配方法判斷二次式的大小和范圍.

3.通過溫故知新，提高學(xué)生對(duì)不等式的認(rèn)識(shí)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，體會(huì)數(shù)學(xué)的奧秘與數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)美.

重點(diǎn)難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：比較實(shí)數(shù)與代數(shù)式的大小關(guān)系，判斷二次式的大小和范圍.

教學(xué)難點(diǎn)：準(zhǔn)確比較兩個(gè)代數(shù)式的大小.

課時(shí)安排

1課時(shí)

教學(xué)過程

導(dǎo)入新課

思路1.(章頭圖導(dǎo)入)通過多媒體展示衛(wèi)星、飛船和一幅山巒重疊起伏的壯觀畫面，它將學(xué)生帶入“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同”的大自然和浩瀚的宇宙中，使學(xué)生在具體情境中感受到不等關(guān)系在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中是大量存在的，由此產(chǎn)生用數(shù)學(xué)研究不等關(guān)系的強(qiáng)烈愿望，自然地引入新課.

思路2.(情境導(dǎo)入)列舉出學(xué)生身體的高矮、身體的輕重、距離學(xué)校路程的遠(yuǎn)近、百米賽跑的時(shí)間、數(shù)學(xué)成績(jī)的多少等現(xiàn)實(shí)生活中學(xué)生身邊熟悉的事例，描述出某種客觀事物在數(shù)量上存在的不等關(guān)系.這些不等關(guān)系怎樣在數(shù)學(xué)上表示出來呢?讓學(xué)生自由地展開聯(lián)想，教師組織不等關(guān)系的相關(guān)素材，讓學(xué) 生用數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)進(jìn)行觀察、歸納，使學(xué)生在具體情境中感受到不等關(guān)系與相等關(guān)系一樣，在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中大量存在著.這樣學(xué)生會(huì)由衷地產(chǎn)生用數(shù)學(xué)工具研究不等關(guān)系的愿望，從而進(jìn)入進(jìn)一步的探究學(xué)習(xí)，由此引入新課.

推進(jìn)新課

新知探究

提出問題

?1?回憶初中學(xué)過的不等式，讓學(xué)生說出“不等關(guān)系”與“不等式”的異同.怎樣利用不等式研究及表示不等關(guān)系?

?2?在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中，既有相等關(guān)系，又存在著大量的不等關(guān)系.你能舉出一些實(shí)際例子嗎?

?3?數(shù)軸上的任意兩 點(diǎn)與對(duì)應(yīng)的兩實(shí)數(shù)具有怎樣的關(guān)系?

?4?任意兩個(gè)實(shí)數(shù)具有怎樣的關(guān)系?用邏輯用語怎樣表達(dá)這個(gè)關(guān)系?

活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生回憶初中學(xué)過的不等式概念，使學(xué)生明確“不等關(guān)系”與“不等式”的異同.不等關(guān)系強(qiáng)調(diào)的是關(guān)系，可用符號(hào)“>”“<”“≠”“≥”“≤”表示，而不等式則是表示兩者的不等關(guān)系，可用“a>b”“a

教師與學(xué)生一起舉出我們?nèi)粘Ｉ钪胁坏汝P(guān)系的例子，可讓學(xué)生充分合作討論，使學(xué)生感受到現(xiàn)實(shí)世界中存在著大量的不等關(guān)系.在學(xué)生了解了一些不等式產(chǎn)生的實(shí)際背景的前提下，進(jìn)一步學(xué)習(xí)不等式的有關(guān)內(nèi)容.

實(shí)例1：某天的天氣預(yù)報(bào)報(bào)道，氣溫32 ℃，最低氣溫26 ℃.

實(shí)例2：對(duì)于數(shù)軸上任意不同的兩點(diǎn)A、B，若點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊，則xA

實(shí)例3：若一個(gè)數(shù)是非負(fù)數(shù)，則這個(gè)數(shù)大于或等于零.

實(shí)例4：兩點(diǎn)之間線段最短.

實(shí)例5：三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊.

實(shí)例6：限速40 km/h的路標(biāo)指示司機(jī)在前方路段行駛時(shí)，應(yīng)使汽車的速度v不超過40 km/h.

實(shí)例7：某品牌酸奶的質(zhì)量檢查規(guī)定，酸奶中脂肪的含量f應(yīng)不少于2.5%，蛋白質(zhì)的含量p應(yīng)不少于2.3%.

教師進(jìn)一步點(diǎn)撥：能夠發(fā)現(xiàn)身 邊的數(shù)學(xué)當(dāng)然很好，這說明同學(xué)們已經(jīng)走進(jìn)了數(shù)學(xué)這門學(xué)科，但作為我們研究數(shù)學(xué)的人來說，能用數(shù)學(xué)的眼光、數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)進(jìn)行觀察、歸納、抽象，完成這些量與量的比較過程，這是我們每個(gè)研究數(shù)學(xué)的人必須要做的，那么，我們可以用我們所研究過的什么知識(shí)來表示這些不等關(guān)系呢?學(xué)生很容易想到，用不等式或不等式組來表示這些不等關(guān)系.那么不等式就是用不等號(hào)將兩個(gè)代數(shù)式連結(jié)起來所成的式子.如-7<-5，3+4>1+4,2x≤6，a+2≥0,3≠4,0≤5等.

教師引導(dǎo)學(xué)生將上述的7個(gè)實(shí)例用不等式表示出來.實(shí)例1，若用t表示某天的氣溫，則26 ℃≤t≤32 ℃.實(shí)例3，若用x表示一個(gè)非負(fù)數(shù)，則x≥0.實(shí)例5，|AC|+|BC|>|AB|，如下圖.

|AB|+|BC|>|AC|、|AC|+|BC|>|AB|、|AB|+|AC|>|BC|.

|AB|-|BC|<|AC|、|AC|-|BC|<|AB|、|AB|-|AC|<|BC|.交換被減數(shù)與減數(shù)的位置也可以.

實(shí)例6，若用v表示速度，則v≤40 km/h.實(shí)例7，f≥2.5%，p≥2.3%.對(duì)于實(shí)例7，教師應(yīng)點(diǎn)撥學(xué)生注意酸奶中的脂肪含量與蛋白質(zhì)含量需同時(shí)滿足，避免寫成f≥2.5%或p≥2.3%，這是不對(duì)的.但可表示為f≥2.5%且p≥2.3%.

對(duì)以上問題，教師讓學(xué)生輪流回答，再用投影儀給出課本上的兩個(gè)結(jié)論.

討論結(jié)果：

(1)(2)略;(3)數(shù)軸上任意兩點(diǎn)中，右邊點(diǎn)對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)比左邊點(diǎn)對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)大.

(4)對(duì)于任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a和b，在a=b，a>b，a應(yīng)用示例

例1(教材本節(jié)例1和例2)

活動(dòng)：通過兩例讓學(xué)生熟悉兩個(gè)代數(shù)式的大小比較的基本方法：作差，配方法.

點(diǎn)評(píng)：本節(jié)兩例的求解，是借助因式分解和應(yīng)用配方法完成的，這兩種方法是代數(shù)式變形時(shí)經(jīng)常使用的方法，應(yīng)讓學(xué)生熟練掌握.

變式訓(xùn)練

1.若f(x)=3x2-x+1，g(x)=2x2+x-1，則f(x)與g(x)的大小關(guān)系是(　　)

A.f(x)>g(x)　　　　　　 B.f(x)=g(x)

C.f(x)

答案：A

解析：f(x)-g(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1≥1>0，∴f(x)>g(x).

2.已知x≠0，比較(x2+1)2與x4+x2+1的大小.

解：由(x2+1)2-(x4+x2+1)=x4+2x2+1-x4-x2-1=x2.

∵x≠0，得x2>0.從而(x2+1)2>x4+x2+1.

例2比較下列各組數(shù)的大小(a≠b).

(1)a+b2與21a+1b(a>0，b>0);

(2)a4-b4與4a3(a-b).

活動(dòng)：比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，常根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)與大小順序的關(guān)系，歸結(jié)為判斷它們的差的符號(hào)來確定.本例可由學(xué)生獨(dú)立完成，但要點(diǎn)撥學(xué)生在最后的符號(hào)判斷說理中，要理由充分，不可忽略這點(diǎn).

解：(1)a+b2-21a+1b=a+b2-2aba+b=?a+b?2-4ab2?a+b?=?a-b?22?a+b?.

∵a>0，b>0且a≠b，∴a+b>0，(a-b)2>0.∴?a-b?22?a+b?>0，即a+b2>21a+1b.

(2)a4-b4-4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2)-4a3(a-b)

=(a-b)(a3+a2b+ab2+b3-4a3)=(a-b)[(a2b-a3)+(ab2-a3)+(b3-a3)]

=-(a-b)2(3a2+2ab+b2)=-(a-b)2[2a2+(a+b)2].

∵2a2+(a+b)2≥0(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=0時(shí)取等號(hào))，

又a≠b，∴(a-b)2>0,2a2+(a+b)2>0.∴-(a-b)2[2a2+(a+b)2]<0.

∴a4-b4<4a3(a-b).

點(diǎn)評(píng)：比較大小常用作差法，一般步驟是作差——變形——判斷符號(hào).變形常用的手段是分解因式和配方，前者將“差”變?yōu)椤胺e”，后者將“差”化為一個(gè)或幾個(gè)完全平方式的“和”，也可兩者并用.

變式訓(xùn)練

已知x>y，且y≠0，比較xy與1的大小.

活動(dòng)：要比較任意兩個(gè)數(shù)或式的大小關(guān)系，只需確定它們的差與0的大小關(guān)系.

解：xy-1=x-yy.

∵x>y，∴x-y>0.

當(dāng)y<0時(shí)，x-yy<0，即xy-1<0. ∴xy<1;

當(dāng)y>0時(shí)，x-yy>0，即xy-1>0.∴xy>1.

點(diǎn)評(píng)：當(dāng)字母y取不同范圍的值時(shí)，差xy-1的正負(fù)情況不同，所以需對(duì)y分類討論.

例3建筑設(shè)計(jì)規(guī)定，民用住宅的窗戶面積必須小于地板面積.但按采光標(biāo)準(zhǔn)，窗戶面積與地板面積的比值應(yīng)不小于10%，且這個(gè)比值越大，住宅的采光條件越好.試問：同時(shí)增加相等的窗戶面積和地板面積， 住宅的采光條件是變好了，還是變壞了?請(qǐng)說明理由.

活動(dòng)：解題關(guān)鍵首先是把文 字語言轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)語言，然后比較前后比值的大小，采用作差法.

解：設(shè)住宅窗戶面積和地板面積分別為a、b，同時(shí)增加的面積為m，根據(jù)問題的要求a

由于a+mb+m-ab=m?b-a?b?b+m?>0，于是a+mb+m>ab.又ab≥10%，

因此a+mb+m>ab≥10%.

所以同時(shí)增加相等的窗戶面積和地板面積后，住宅的采光條件變好了.

點(diǎn)評(píng)：一般地，設(shè)a、b為正實(shí)數(shù)，且a

變式訓(xùn)練

已知a1，a2，…為各項(xiàng)都大于零的等比數(shù)列，公比q≠1，則(　　)

A.a1+a8>a4+a5　　　　　　　 B.a1+a8

C.a1+a8=a4+a5 D.a1+a8與a4+a5大小不確定

答案：A

解析：(a1+a8)-(a4+a5)=a1+a1q7-a1q3-a1q4

=a1[(1-q3)-q4(1-q3)]=a1(1-q)2(1+q+q2)(1+q)(1+q2).

∵{an}各項(xiàng)都大于零，∴q>0，即1+q>0.

又∵q≠1，∴(a1+a8)-(a4+a5)>0，即a1+a8>a4+a5.

課堂小結(jié)

1.教師與學(xué)生共同完成本節(jié)課的小結(jié)，從實(shí)數(shù)的基本性質(zhì)的回顧，到兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的比較方法;從例題的活動(dòng)探究點(diǎn)評(píng)，到緊跟著的變式訓(xùn)練，讓學(xué)生去繁就簡(jiǎn)，聯(lián)系舊知，將本節(jié)課所學(xué)納入已有的知識(shí)體系中.

2.教師畫龍點(diǎn)睛，點(diǎn)撥利用實(shí)數(shù)的基本性質(zhì)對(duì)兩個(gè)實(shí)數(shù)大小比較時(shí)易錯(cuò)的地方.鼓勵(lì)學(xué)有余力的學(xué)生對(duì)節(jié)末的思考與討論在課后作進(jìn)一步的探究.

作業(yè)

習(xí)題3—1A組3;習(xí)題3—1B組2.

設(shè)計(jì)感想

1.本節(jié)設(shè)計(jì)關(guān)注了教學(xué)方法 的優(yōu)化.經(jīng)驗(yàn)告訴我們：課堂上應(yīng)根據(jù)具體情況，選擇、設(shè)計(jì)最能體現(xiàn)教學(xué)規(guī)律的教學(xué) 過程，不宜長(zhǎng)期使用一種固定的教學(xué)方法，或原封不動(dòng)地照搬一種實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｊ?各種教學(xué)方法中，沒有一種能很好地適應(yīng)一切教學(xué)活動(dòng).也就是說，世上沒有萬能的教學(xué)方法.針對(duì)個(gè)性，靈活變化，因材施教才是成功的施教靈藥.

2.本節(jié)設(shè)計(jì)注重了難度控制.不等式內(nèi)容應(yīng)用面廣，可以說與其他所有內(nèi)容都有交匯，歷 來是高考的重點(diǎn)與熱點(diǎn).作為本章開始，可以適當(dāng)開闊一些，算作拋磚引玉，讓學(xué)生有個(gè)自由探究聯(lián)想的平臺(tái)，但不宜過多向外拓展，以免對(duì)學(xué)生產(chǎn)生負(fù)面影響.

3.本節(jié)設(shè)計(jì)關(guān)注了學(xué)生思維能力的訓(xùn)練.訓(xùn)練學(xué)生的思維能力，提升思維的品質(zhì)，是數(shù)學(xué)教師直面的重要課題，也是中學(xué)數(shù)學(xué)教育的主線.采用一題多解有助于思維的發(fā)散性及靈活性，克服思維的僵化.變式訓(xùn)練教學(xué)又可以拓展學(xué)生思維視野的廣度，解題后的點(diǎn)撥反思有助于學(xué)生思維批判性品質(zhì)的提升.

高中數(shù)學(xué)余弦定理教案5

一、教學(xué)內(nèi)容分析

二面角是我們?nèi)粘Ｉ钪薪?jīng)常見到的一個(gè)圖形，它是在學(xué)生學(xué)過空間異面直線所成的角、直線和平面所成角之后，研究的一種空間的角，二面角進(jìn)一步完善了空間角的概念.掌握好本節(jié)課的知識(shí)，對(duì)學(xué)生系統(tǒng)地理解直線和平面的知識(shí)、空間想象能力的培養(yǎng)，乃至創(chuàng)新能力的培養(yǎng)都具有十分重要的意義.

二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)

理解二面角及其平面角的概念;能確認(rèn)圖形中的已知角是否為二面角的平面角;能作出二面角的平面角，并能初步運(yùn)用它們解決相關(guān)問題.

三、教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)

二面角的平面角的概念的形成以及二面角的平面角的作法.

四、教學(xué)流程設(shè)計(jì)

五、教學(xué)過程設(shè)計(jì)

一、 新課引入

1.復(fù)習(xí)和回顧平面角的有關(guān)知識(shí).

平面中的角

定義 從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的兩條射線所組成的圖形，叫做角圖形

結(jié)構(gòu) 射線—點(diǎn)—射線

表示法 ∠AOB,∠O等

2.復(fù)習(xí)和回顧異面直線所成的角、直線和平面所成的角的定義，及其共同特征.(空間角轉(zhuǎn)化為平面角)

3.觀察：陡峭與否，跟山坡面與水平面所成的角大小有關(guān)，而山坡面與水平面所成的角就是兩個(gè)平面所成的角.在實(shí)際生活當(dāng)中，能夠轉(zhuǎn)化為兩個(gè)平面所成角例子非常多，比如在這間教室里，誰能舉出能夠體現(xiàn)兩個(gè)平面所成角的實(shí)例?(如圖1，課本的開合、門或窗的開關(guān).)從而，引出“二面角”的定義及相關(guān)內(nèi)容.

二、學(xué)習(xí)新課

(一)二面角的定義

平面中的角 二面角

定義 從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的兩條射線所組成的圖形，叫做角 課本P17

圖形

結(jié)構(gòu) 射線—點(diǎn)—射線 半平面—直線—半平面

表示法 ∠AOB,∠O等 二面角α—a—β或α-AB-β

(二)二面角的圖示

1.畫出直立式、平臥式二面角各一個(gè)，并分別給予表示.

2.在正方體中認(rèn)識(shí)二面角.

(三)二面角的平面角

平面幾何中的“角”可以看作是一條射線繞其端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而成，它有一個(gè)旋轉(zhuǎn)量，它的大小可以度量，類似地，"二面角"也可以看作是一個(gè)半平面以其棱為軸旋轉(zhuǎn)而成，它也有一個(gè)旋轉(zhuǎn)量，那么，二面角的大小應(yīng)該怎樣度量?

1.二面角的平面角的定義(課本P17).

2.∠AOB的大小與點(diǎn)O在棱上的位置無關(guān).

[說明]①平面與平面的位置關(guān)系，只有相交或平行兩種情況，為了對(duì)相交平面的相互位置作進(jìn)一步的探討，有必要來研究二面角的度量問題.

②與兩條異面直線所成的角、直線和平面所成的角做類比，用“平面角”去度量.

③二面角的平面角的三個(gè)主要特征：角的頂點(diǎn)在棱上;角的兩邊分別在兩個(gè)半平面內(nèi);角的兩邊分別與棱垂直.

3.二面角的平面角的范圍：

(四)例題分析

例1 一張邊長(zhǎng)為a的正三角形紙片ABC，以它的高AD為折痕，將其折成一個(gè) 的二面角，求此時(shí)B、C兩點(diǎn)間的距離.

[說明] ①檢查學(xué)生對(duì)二面角的平面角的定義的掌握情況.

②翻折前后應(yīng)注意哪些量的位置和數(shù)量發(fā)生了變化, 哪些沒變?

例2 如圖，已知邊長(zhǎng)為a的等邊三角形 所在平面外有一點(diǎn)P，使PA=PB=PC=a，求二面角 的大小.

[說明] ①求二面角的步驟：作—證—算—答.

②引導(dǎo)學(xué)生掌握解題可操作性的通法(定義法和線面垂直法).

例3 已知正方體 ，求二面角 的大小.(課本P18例1)

[說明] 使學(xué)生進(jìn)一步熟悉作二面角的平面角的方法.

(五)問題拓展

例4 如圖，山坡的傾斜度(坡面與水平面所成二面角的度數(shù))是 ，山坡上有一條直道CD，它和坡腳的水平線AB的夾角是 ，沿這條路上山，行走100米后升高多少米?

[說明]使學(xué)生明白數(shù)學(xué)既來源于實(shí)際又服務(wù)于實(shí)際.

三、鞏固練習(xí)

1.在棱長(zhǎng)為1的正方體 中，求二面角 的大小.

2. 若二面角 的大小為 ，P在平面 上，點(diǎn)P到 的距離為h，求點(diǎn)P到棱l的距離.

四、課堂小結(jié)

1.二面角的定義

2.二面角的平面角的定義及其范圍

3.二面角的平面角的常用作圖方法

4.求二面角的大小(作—證—算—答)

五、作業(yè)布置

1.課本P18練習(xí)14.4(1)

2.在 二面角的一個(gè)面內(nèi)有一個(gè)點(diǎn)，它到另一個(gè)面的距離是10，求它到棱的距離.

3.把邊長(zhǎng)為a的正方形ABCD以BD為軸折疊，使二面角A-BD-C成 的二面角，求A、C兩點(diǎn)的距離.

六、教學(xué)設(shè)計(jì)說明

本節(jié)課的設(shè)計(jì)不是簡(jiǎn)單地將概念直接傳受給學(xué)生，而是考慮到知識(shí)的形成過程，設(shè)法從學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)出發(fā)，調(diào)動(dòng)學(xué)生積極參與探索、發(fā)現(xiàn)、問題解決全過程.“二面角”及“二面角的平面角”這兩大概念的引出均運(yùn)用了類比的手段和方法.教學(xué)過程中通過教師的層層鋪墊，學(xué)生的主動(dòng)探究，使學(xué)生經(jīng)歷概念的形成、發(fā)展和應(yīng)用過程，有意識(shí)地加強(qiáng)了知識(shí)形成過程的教學(xué).