高考數學教案設計都有哪些？由于計數的需要，人類從現實事物中抽象出了自然數，它是數學中一切“數”的起點。下面是小編為大家帶來的高考數學教案設計七篇，希望大家能夠喜歡！

高考數學教案設計【篇1】

教學設計

基本信息 名稱 《冪函數圖象和性質》 課時 1 所屬教材目錄 人教A版2.3 教材分析 ?《冪函數》選自高一數學新教材必修1第2章第3節。冪函數是繼指數函數和對數函數后研究的又一基本函數。通過本節課的學習，學生將建立冪函數這一函數模型，并能用系統的眼光看待以前已經接觸的函數，進一步確立利用函數的定義域、值域、奇偶性、單調性研究一個函數的意識，因而本節課更是一個對學生研究函數的方法和能力的綜合提升。? 學情分析

(1)學生已經接觸過函數，已經確立了利用函數的定義域、值域、奇偶性、單調性研究一個函數的意識?，已初步形成對數學問題的合作探究能力。?

(2)雖然前面學生已經學會用描點列表連線畫圖的方法來繪制指數函數，對數函數圖像，但是對于冪函數的圖像畫法仍然缺乏感性認識。?

(3)?學生層次參次不齊，個體差異比較明顯。

教學目標 知識與能力目標 知道冪函數的概念，會研究冪函數的性質和圖像

掌握冪函數在第一象限的性質

過程與方法目標 學生在積極參與具體冪函數的性質研究實踐活動中，培養學生觀察和歸納能力，與此同時，在解決具體問題的過程中，提高學生對具體問題的前一以及綜合能力

情感態度與價值觀目標 滲透辯證唯物主義觀點和方法論，培養學生運用具體問題具體分析的方法分析問題和解決問題的能力。

教學重難點 重點 冪函數的性質和圖像

難點 冪函數y= x 的圖像的規律，冪函數性質的總結

教學策略與 設計說明 講、議、練結合，啟發式 教學過程 教學環節(注明每個環節預設的時間) 教師活動 學生活動 設計意圖 問題1

問題2

問題3

問題4

問題5 幻燈片演示問題：寫出下列y關于x的函數解析式：

正方形邊長x，面積y

正方體棱長x，體積y

正方形面積x，邊長y

某人騎車x秒內勻速前進了1km，騎車速度y

一物體位移y與位移時間x，速度1m/s

教師將解析式寫成指數冪形式，以啟發學生歸納投影演示定義。

這五個函數關系是從結構上看有什么共同的特點?用x表示自變量，y表示函數值

投影冪函數的定義，揭示課題。

有了冪函數的概念接下來研究什么?通過什么方式研究，類比指數函數的對數函數的學習。

投影：

例1：觀察在同一直角坐標系中下些列函數的圖像，并根據圖像將發現的性質填入表格：

y=x y=x y=x y=x y=x

探究：①應明確函數的定義域?(寫成根式的形式)

觀察定義域對奇偶性的影響

注意指數對圖像特征的影響

投影顯示表格

高考數學教案設計【篇2】

教學目標

1. 知識目標：

(1)了解冪函數的概念;

(2)會畫簡單冪函數的圖象，并能根據圖象得出這些函數的性質;

(3)了解冪函數隨冪指數改變的性質變化情況。

2. 能力目標：

在探究冪函數性質的活動中，培養學生觀察和歸納能力，培養學生數形結合的意識和思想。

3. 情感目標：

通過師生、生生彼此之間的討論、互動，培養學生合作、交流、探究的意識品質，同時讓學生在探索、解決問題過程中，獲得學習的成就感。

教學重點及難點

教學重點：

從具體冪函數歸納認識冪函數的一些性質并做簡單應用。

教學難點：

引導學生概括出冪函數性質。

教學方法

歸納總結，數形結合，分析驗證。

教學媒體

幻燈片、黑板

教學過程

教學基本流程 從實例觀察引入課題→構建冪函數的概念→

畫出代表性函數圖像→探索簡單的冪函數性質→總結一般性研究方法→應用舉例和課堂練習→小結與作業

(一)實例觀察，引入新課

(1)如果張紅購買了每千克1元的蔬菜w千克，那么她需要支付P = W元， P是W的函數。 (y=x)?

(2)如果正方形的邊長為 a，那么正方形的面積S=a2 ，S是a的函數。 ? (y=x2)?

(3)如果立方體的邊長為a，那么立方體的體積V =a3 ，S是a的函數。 ? (y=x3)

(4)如果一個正方形場地的面積為 S，那么正方形的邊長a=s1∕2， a是S的函數。(y=x1∕2)

(5)如果某人 t s內騎車行進1 km，那么他騎車的平均速度v=t-1， V是t的函數。(y=x-1)?

問題一：以上問題中的函數具有什么共同特征?

學生反應：底數都是自變量，指數都是常數。

設計意圖 引導學生從具體的實例中進行總結，從而自然引出冪函數的一般特征.

由學生討論、總結，得出上述問題中涉及到的函數，都是形如y=xa的函數，其中x是自變量，α是常數。

(二)類比聯想，探究新知

1.冪函數的定義： 一般地，函數y=xa叫做冪函數，其中x為自變量?ɑ 為常數。

注意：冪函數的解析式必須是y = xa的形式，其特征可歸納為“系數為1只有1項”。 (讓學生判斷y=2x3 y=x2+x y=_ y=x-2等是否為冪函數)

例題1.已知函數 是冪函數，求m的值。

設計意圖 加深學生對冪函數定義和呈現形式的理解。

2.冪函數的圖像與簡單性質

同前面的指數函數和對數函數一樣，先畫出函數的圖像，再由圖像來研究冪函數的相關性質(定義域，值域，單調性，奇偶性，定點)。

找出典型的函數作為代表：

y=x y=x2 y=x3 y=x-1

在幻燈片上給出以上五個函數的圖像，引導學生觀察其性質(定義域，值域，單調性，奇偶性)

讓學生自主動手，在同一坐標系中畫出這5個函數的圖像，并觀察圖像

問題二：所有圖像都過第幾象限，所有圖像都不過第幾象限，為什么?

學生反應：都過第一象限，而都不過第四象限，因為當x>0時所有冪函數都有意義，且函數值都為正。

問題三：所有圖像都過哪些點，為什么?

學生反應：都過點(1，1)，因為1的任何指數冪都為1。

問題四：對于原點，什么樣的冪函數過，什么樣的冪函數不過，為什么?

學生反應：指數為正過，為負則不過，因為負指數冪可以化成分數形式，分母不能為零，所以在原點沒有意義。

高考數學教案設計【篇3】

教學分析

教學目標：

1、掌握冪函數的概念;熟悉α=1，2，3，?， -1時的1冪函數的圖象和性質;能利用冪函數的性質 解決實際問題。

2、通過學生對情境的觀察、思考、歸納、總結形成結論，培養學生的發現問題，解決問題的力。

二、教學重難點：

重點：冪函數的定義，圖象與性質。

難點：冪函數的圖象與性質。

三、教學準備：

教師：將冪函數 圖象提前畫在小黑板上。

四、教學導圖：

情境引入 函數的概念冪 課堂練習

畫出α=1，2，3，?，-1圖象

師生交流歸納出五個具體冪函數的性質

課堂練習 例題分析 課堂小結 課后作業

教學設計

教學過程：

(一)教學內容：冪函數概念的引入。

設計意圖：從學生熟悉的背景出發，為抽象出冪函數的概念做準備。這樣，既可以讓學生體會到冪函數來自于生活，又可以通過對這些案例的觀察、歸納、概括、總結出冪函數的一般概念，培養學生發現問題、解決問題的能力。

師生活動：

教師：前面我們學習了指數函數與對數函數，這兩類描述客觀世界變化規律的數學模型。但是同學們知道，不是所有的客觀世界變化規律都能用這兩種數學模型來描述。今天，我們將學習新的一類描述客觀世界變換規律的數學模型，也就是本書二點三節的冪函數。首先我們來看這樣幾個實際問題。第一個問題，如果老師現在準備購買單價為每千克1元的蔬菜W千克，老師總共需要花的錢P是多少?

教師：非常好，老師總共需要花的錢P=W。第二個問題，如果正方形的邊長為a，那么正方形的面積S等于多少?

教師：回答的非常正確。面積S= . 下面的問題都很簡單，請同學們跟上老師的思路。第三個問題，如果正方體的邊長為a，那么他的體積V等于多少了?

教師：對。正方體的體積V= 。第四個問題，如果已知一個正方形面積等于S，那么這個正方形邊長a等于多少了?

教師：非常正確。通過前面對指數冪的學習，根式與分數指數冪是可以相互轉換的，所以根號下S就等于S的二分之一次方。那么我們的邊長a= 。最后一個問題，認真聽，某人 內騎自行車行進了1KM，那他的平均速度v等于多少?

教師：回答非常正確。因為我們知道v×t=s

所以v= = 。好，現在我們一起來觀察黑板上這五個具體表達式，我們可以看出第一個表達式中P是W的函數，那第二個表達式了?

教師：非常好，第三個表達式了?

教師：第四個表達式了?

教師：第五個了?

教師：大家回答得非常正確。如果將上面的函數自變量全用x代替，函數值全用y來代替，那么我們可以得到第一個表達式為。。。。。。

教師：第二個表達式?

教師：第三個表達式?

教師：第四個表達式?

教師： 第五個表達式?

教師：回答的非常好。那現在請同學們仔細觀察老師用x，y寫成的這五個函數它們有哪些共同特征。等一下請同學起來給大家分享一下你觀察的結果。給大家一分鐘時間思考。(一分鐘后。。。)有那個同學主動給大家分享一下你得出哪些共同特征?

教師：還有其他的共同特征嗎?

教師：同學們都回答的非常正確哈。以后了我們就把具有這樣性質的函數叫做冪函數。現在我們來給冪函數下個確的定義。一般的，他形如 的函數叫做冪函數，其中x是自變量，α是常數。同學們一定要注意，冪函數與前面學習的指數函數對數函數一樣，都是形式化 定義，必須具有定義所給的形式，才能叫做冪函數，否者都不是冪函數。

(二)教學內容： 冪函數與指數函數的區別與聯系。

設計意圖：鞏固冪函數的概念，讓學生回顧前面學過的冪函數的特例，較少陌生感，并且用聯系的觀點，讓學生比較冪函數與指數函數的區別，從而加深對冪函數概念的的理解與掌握。

師生活動：

教師：有的同學已經發現，今天學習的冪函數與前面學習的指數函數形式上有些相似，但是老師高手你們她們兩個函數有著本質的區別。黑板上已經有五個冪函數的具體例子，請同學們說幾個前面學習過的指數函數的例子。

教師：非常好。還有其他的嗎?

教師：那現在我們通過觀察黑板上的例子找到這兩個函數本質上的區別與聯系.同學們發現了嗎?她們有哪些相同點?哪些不同點?

教師：不同了?

教師：回答非常正確哈。所以同學們一定不要混淆了這兩類函數，記清楚那個函數的自變量在底數，那個函數的自變量在指數。我們已經明確給出了冪函數的定義，并且卻別了冪函數與指數函數。現在我們來做一個練習。

(三)教學內容：課堂練習

設計意圖：進一步鞏固冪函數概念的理解.

師生活動：

教師： 練習，判斷下列函數是否為冪函數 。請同學么能嚴格按照定義，自己動手做一下這幾個題目。好。。。第一個是冪函數嗎?

教師：為什么了?

教師：非常正確，第二個?

教師：很好，第三個了?

教師：到底是還不是?好好根據定義判斷，也不要忘了形式間的等價轉換。

教師：對的，它是一個冪函數，因為我們知道 ，所以根據定義就是一個冪函數。第四個了?

教師：因為我們知道冪前面的系數必須是1，而本題為2，所以不是。第五個了?

高考數學教案設計【篇4】

教學目標：

通過實例，理解冪函數的概念;能區分指數函數與冪函數;會用待定系數法求冪函數的解析式。

教學重難點：

重點 從五個具體冪函數中認識冪函數的一些特征.

難點 指數函數與冪函數的區別和冪函數解析式的求解.

教學方法與手段：

1.采用師生互動的方式，在教師的引導下，學生通過思考、交流、討論，理解冪函數的定義，體驗自主探索、合作交流的學習方式，充分發揮學生的積極性與主動性.

2.利用投影儀及計算機輔助教學.

教學過程：

函數的完美追求：對于式子 ，

如果 一定，N隨 的變化而變化，我們建立了指數函數 ;

如果 一定， 隨N的變化而變化，我們建立了對數函數 .

設想：如果 一定，N隨 的變化而變化，是不是也應該確定一個函數呢?

創設情境

請大家看以下問題：

思考：以上問題中的函數 有什么共同特征?

引導學生分析歸納概括得出：(1)都是以自變量 x為底數;(2)指數為常數;(3)自變量x前的系數為1;(4)只有一項.上述問題中涉及的函數，都是形如 的函數.

探究新知

一、冪函數的定義

一般地，形如 的函數稱為冪函數，其中 是自變量， 是常數.

中 前面的系數是1，后面沒有其它項.

小試牛刀

判斷下列函數是否為冪函數：

(1) ，

思考：冪函數 與指數函數 有什么區別?

二、冪函數與指數函數的對比

高考數學教案設計【篇5】

一.教學目標

1.知識技能：了解冪函數定義，掌握一些常見冪函數的圖像及性質和一般冪函數第一象限內圖像特點

2.過程與方法：通過形式來定義冪函數，比較冪函數和指數函數得出其特有的形式特點，觀察圖像歸納總結出其函數性質，數形結合找規律

3.情感、態度和價值觀：函數圖像直接反應函數性質，同樣由函數性質也能大致畫出其圖像，對圖像與性質之間的關系進行探索體會

二.重難點

重點：冪函數的定義，常見冪函數的圖像和性質，一般冪函數第一象限的大致圖像再利用其性質得到整體圖像

難點：其一般的性質分析，再由性質得到一般圖像

三.教學方法和用具

方法：歸納總結，數形結合，分析驗證

用具：幻燈片，幾何畫板，黑板

四.教學過程

(幻燈片見附件)

1.設置問題情境，找出所得函數的共同形式，由形式給出冪函數的定義(幻燈片1?幻燈片2)(板書)

2.從形式上比較指數函數和冪函數的異同(幻燈片3)

3.利用定義的形式，判斷所給函數是否是冪函數，并得出判斷依據(幻燈片4)

4.畫常見的三種冪函數的圖像，再讓學生用描點法畫另兩種，并用幾何畫板驗證(幻燈片5)(幾何畫板)

5.用幾何畫板畫出這五個冪函數的圖像，觀察圖像完成書中冪函數的函數性質的表格，并分析得出更一般的結論(板書)(幾何畫板)

高考數學教案設計【篇6】

一、設計理念

注重發展學生的創新意識。學生的數學學習活動不應只限于接受、記憶、模仿和練習，倡導學生積極主動探索、動手實踐與相互合作交流的數學學習方式。這種方式有助于發揮學生學習主動性，使學生的學習過程成為在教師引導下的“再創造”過程。我們應積極創設條件，讓學生體驗數學發現和創造的歷程，發展他們的創新意識。

注重提高學生數學思維能力。課堂教學是促進學生數學思維能力發展的主陣地。問題解決是培養學生思維能力的主要途徑。所設計的問題應有利于學生主動地進行觀察、實驗、猜測、驗證、推理與交流等教學活動。內容的呈現應采用不同的表達方式，以滿足多樣化的學習需求。伴隨新的問題發現和問題解決后成功感的滿足，由此刺激學生非認知深層系統的良性運行，使其產生“樂學”的余味，學生學習的積極性與主動性在教學中便自發生成。本節主要安排應用類比法進行探討，加深學生對類比法的體會與應用。

注重學生多層次的發展。在問題解決的探究過程中應體現“以人為本”，充分體現“人人學有價值的數學，人人都能獲得必需的數學”，“不同的人在數學上得到不同的發展”的教學理念。有意義的數學學習必須建立在學生的主觀愿望和知識經驗基礎之上，而學生的基礎知識和學習能力是多層次的，所以設計的問題也應有層次性，使各層次學生都得到發展。

注重信息技術與數學課程的整合。高中數學課程應盡量使用科學型計算器，各種數學教育技術平臺，加強數學教學與信息技術的結合，鼓勵學生運用計算機、計算器等進行探索和發現。

另外，在數學教學中，強調數學本質的同時，也讓學生通過適度的形式化，較好的理解和使用數學概念、性質。

二、教材分析

1.在教材中的地位與作用

冪函數在老教材中出現過，后來又刪，現在又重新出現，當然兩次在教材中的地位不一樣，這次分量較輕，只要一課時，所以控制難度是值得注意的地方。冪函數選自必修1第2章第4節，是基本初等函數之一，是在學生系統學習了函數概念與函數性質之后，進入高中以來遇到的第三種特殊函數，是對函數概念及性質的應用，能進一步培養利用函數的性質(定義域、值域、圖像、奇偶性、單調性)研究一個函數的意識。因而本節課更是一個對學生研究函數的方法和能力的綜合提升。從概念到圖象( )，利用這五個函數的圖象探究其定義域、值域、奇偶性、單調性、公共點，概括、歸納冪函數的性質，培養學生從特殊到一般再到特殊的一般認知規律。從教材的整體安排看，學習了解冪函數是為了讓學生進一步獲得比較系統的函數知識和研究函數的方法，以便能將該方法遷移到對其他函數的研究。

2. 教材編排與課時安排

冪函數的教學按照《教參》要求一個課時完成。 通過這一課時學習冪函數的定義，圖像及性質，從而進一步深化學生對函數概念的理解與認識，使學生得到較系統的函數知識和研究函數的方法，并且為后面學習其他函數作好準備。

三、學習目標與任務

依據課程標準，結合學生的認知發展水平和心理特征，確定本節課的教學目標如下：

【知識目標】

1 了解冪函數的定義;

2 會畫常見冪函數的圖象，掌握冪函數的圖象和性質;

3 初步學會運用冪函數解決問題，進一步體會數形結合的思想。

【技能目標】

1 通過引入、剖析、定義冪函數的過程，啟動觀察、分析、抽象概括等思維活動，培養學生的思維能力，體會數學概念的學習方法;

2 通過運用多媒體的教學手段，引領學生主動探索冪函數性質，體會學習數學規律的方法，體驗成功的樂趣;

3 對冪函數的性質歸納、總結時培養學生抽象概括和識圖能力;

4 運用性質解決問題時，進一步強化數形結合思想。

【情感目標】

1 通過生活實例引出冪函數概念，體會生活中處處有數學，激發學生的學習興趣;

2 通過本節課的學習，進一步加深研究函數的規律和方法;提高學習能力;

3 養成積極主動，勇于探索，不斷創新的學習習慣和品質;

4 樹立學科學，愛科學，用科學的精神。

四、 學習重點、難點

重點：冪函數的定義、圖像、性質及運用

難點：冪函數圖象和性質的發現過程

五、學習者特征分析

從學生思維特點來和認知結構看，前面學生已經學習指數函數與對數函數，對新函數的學習已經有了一定的經驗。一方面可以把本節課與前面的指數函數與對數函數進行類比學習，但另一方面本節課分類情況多，性質歸納困難，尤其是三個函數放在一起可能產生混淆。對進入高中半個學期的學生來說，雖然具備一定的分析和解決問題的能力，邏輯思維也初步形成，但缺乏冷靜、深刻，思維具有片面性、不嚴謹的特點，對問題解決的一般性思維過程認識比較模糊。

六、教法分析

學生思維活躍，求知欲強，但在思維習慣上還有待教師引導從學生原有的知識和能力出發，在教師的帶領下創設疑問，通過合作交流，共同探索，逐步解決問題。采用引導發現式的教學方法，充分利用多媒體輔助教學。 通過教師點撥，啟發學生主動觀察、主動思考、動手操作、自主探究來達到對知識的發現和接受。

七、學習環境選擇與學習資源設計

【學習環境選擇】

1 Web教室;2 校園網;3 Internet。

【學習資源類型】

1 課件;2 專題學習網站;3 案例庫;4 題庫

【學習資源內容簡要說明】

這堂課的學習資源主要是《冪函數》專題學習網站，網站的內容有：學習主題、學習目標、學法指導、準備知識、重點難點、學習資源、練習測試、展示討論、學習拓展。

八、學習情境創設

【學習情境類型】

1 真實情境;2 問題性情境;3 虛擬情境;4 其他

【學習情境設計】

課堂上創設了學生熟悉的生活情景：購買水果、騎車等生活情境圖;計算正方體的面積與體積的問題情境圖;還有發揮互聯網的交互功能，向學生提供交流、展示作品的空間;通過相關學習資源的鏈接，讓學生在豐富的互聯網的資源中學習、探究、應用“冪函數”。

九、學習活動組織形式選擇

【自主學習設計】

1 拋錨式

(1)準備知識：

寫出下列y關于x的函數解析式：

①正方形邊長x、面積y

②正方體棱長x、體積y

③正方形面積x、邊長y

④某人騎車x秒內勻速前進了1km，騎車速度為y

⑤一物體位移y與位移時間x，速度1m/s

(2)使用資源：

網頁上的“準備知識”;網絡圖像：網絡練習

(3)學生活動

自主進入網站課件瀏覽準備知識，小組討論復習所學知識。采用網絡作為評價的手段。

(4)教師活動

巡視課堂，參與學生的討論。

2 支架式

(1)相應內容

了解本節課的“學習主題”、“學習目標”、提供“學法指導”。

(2)使用資源

網頁上的“學習主題”、“學習目標”、“學法指導”和“重點難點”。

(3)學生活動

自主進入網站瀏覽，根據網頁上的例子歸納出冪函數的一般形式，小組合作學習，互幫互助，采取網絡評價。

(4)教師活動

巡視課堂，指導學生根據例子總結出冪函數的定義及其一般形式，引導學生應該注意的一些地方，并出題練習，鞏固定義。

3 隨機進入式

(1)相應內容

瀏覽學習資源、測試

(2)使用資源

網頁上的“學習資源”：包括本地資源和遠程鏈接、搜索引擎、實驗工具，其中本地資源有：“學習課件”、“課外閱讀、應用例談”等欄目。還有網絡練習。

(3)學生活動

自由選擇喜歡的、重要的內容瀏覽，獨立練習，然后小組交流，采取網絡評價。

(4)教師活動

巡視指導，小結，評價。

【協作學習設計】

1 伙伴

(1)內容：根據幾個問題情境，總結出冪函數的一般形式。

(2)使用資源：網頁上的“重點難點”以及網絡課件。

(3)分組情況：六人一小組。

(4)學生活動：根據網頁上的例子總結出冪函數的一般形式;小組合作學習，互相幫組;網絡評價。

(5)教師活動;巡視課堂，指導學生根據例子總結出冪函數的一般形式。

2 協同

(1)內容：根據冪函數的圖像，總結出冪函數的性質，幫助識記這些性質。

(2)使用資源;網路課件。

(3)分組情況：六人一小組。

(4)學生活動：根據冪函數的圖像找出冪函數的特有性質;小組合作學習，互幫互助。

(5)教師活動;巡視課堂，指導學生根據函數圖像發現冪函數的性質。

3 辯論

(1)內容：冪函數的一般形式以及冪函數的性質

(2)使用資源：網絡課件。

(3)分組情況：六人一小組。

(4)學生活動：根據討論總結出冪函數的一般形式以及其性質;互相發表意見，也可辯論，說出自己的想法。

(5)教師活動;組織學生匯報討論的結果。

【教學結流程設計】 SHAPE MERGEFORMAT

SHAPE MERGEFORMAT

【圖符說明】

SHAPE MERGEFORMAT

十、教學過程

1 課前活動

(1)教師活動：同學們，上課前我們先來看兩個實際問題：

①如果張紅購買了每千克1元的蔬菜w千克，那么她需要付的錢數p是多少?

高考數學教案設計【篇7】

【教學目標】

1.知識與技能：學會推導并掌握基本不等式，理解這個基本不等式的幾何意義，并掌握定理中的不等號“≥”取等號的條件是：當且僅當這兩個數相等;

2.過程與方法：通過實例探究抽象基本不等式;

3.情態與價值：通過本節的學習，體會數學來源于生活，提高學習數學的興趣

【教學重點】

應用數形結合的思想理解不等式，并從不同角度探索不等式 的證明過程;

【教學難點】

基本不等式 等號成立條件

【教學過程】

1.課題導入

基本不等式 的幾何背景：

如圖是在北京召開的第24界國際數學家大會的會標，會標是根據中國古代數學家趙爽的弦圖設計的，顏色的明暗使它看上去象一個風車，代表中國人民熱情好客。你能在這個圖案中找出一些相等關系或不等關系嗎?

教師引導學生從面積的關系去找相等關系或不等關系

2.講授新課

1.探究圖形中的不等關系

將圖中的“風車”抽象成如圖，在正方形ABCD中右個全等的直角三角形。設直角三角形的兩條直角邊長為a，b那么正方形的邊長為 。這樣，4個直角三角形的面積的和是2ab，正方形的面積為 。由于4個直角三角形的面積小于正方形的面積，我們就得到了一個不等式： 。

當直角三角形變為等腰直角三角形，即a=b時，正方形EFGH縮為一個點，這時有 。

2.得到結論：一般的，如果

3.思考證明：你能給出它的證明嗎?

證明：因為

當

所以， ，即

4.1)從幾何圖形的面積關系認識基本不等式

特別的，如果a>0，b>0，我們用分別代替a、b ，可得 ，

通常我們把上式寫作：

2)從不等式的性質推導基本不等式

用分析法證明：

要證 (1)

只要證 a+b (2)

要證(2)，只要證 a+b- 0 (3)

要證(3)，只要證 ( - ) (4)

顯然，(4)是成立的。當且僅當a=b時，(4)中的等號成立。

3)理解基本不等式 的幾何意義

探究：課本第98頁的“探究”

在右圖中，AB是圓的直徑，點C是AB上的一點，AC=a，BC=b。過點C作垂直于AB的弦DE，連接AD、BD。你能利用這個圖形得出基本不等式 的幾何解釋嗎?

易證Rt△ACD∽Rt△DCB，那么CD2=CA·CB

即CD= .

這個圓的半徑為 ，顯然，它大于或等于CD，即 ，其中當且僅當點C與圓心重合，即a=b時，等號成立.

因此：基本不等式 幾何意義是“半徑不小于半弦”

評述：1.如果把 看作是正數a、b的等差中項， 看作是正數a、b的等比中項，那么該定理可以敘述為：兩個正數的等差中項不小于它們的等比中項.

2.在數學中，我們稱 為a、b的算術平均數，稱 為a、b的幾何平均數.本節定理還可敘述為：兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數.

例1 已知x、y都是正數，求證：

(1) ≥2;

(2)(x+y)(x2+y2)(x3+y3)≥8x3y3.

分析：在運用定理： 時，注意條件a、b均為正數，結合不等式的性質(把握好每條性質成立的條件)，進行變形.

解：∵x，y都是正數 ∴ >0， >0，x2>0，y2>0，x3>0，y3>0

(1) =2即 ≥2.

(2)x+y≥2 >0 x2+y2≥2 >0 x3+y3≥2 >0

∴(x+y)(x2+y2)(x3+y3)≥2 ·2 ·2 =8x3y3

即(x+y)(x2+y2)(x3+y3)≥8x3y3.

3.隨堂練習

1.已知a、b、c都是正數，求證

(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc

分析：對于此類題目，選擇定理： (a>0，b>0)靈活變形，可求得結果.

解：∵a，b，c都是正數

∴a+b≥2 >0

b+c≥2 >0

c+a≥2 >0