編寫教案可以幫助教師更好地掌握教學內(nèi)容，規(guī)劃教學流程，增強教學自信心。什么樣的數(shù)學高考教案才算是優(yōu)秀的呢？這里整理一些數(shù)學高考教案，方便大家學習。

數(shù)學高考教案篇1

教學準備

教學目標

熟悉與數(shù)列知識相關(guān)的背景，如增長率、存款利息等問題，提高學生閱讀理解能力、抽象轉(zhuǎn)化的能力以及解答實際問題的能力，強化應(yīng)用儀式。

教學重難點

熟悉與數(shù)列知識相關(guān)的背景，如增長率、存款利息等問題，提高學生閱讀理解能力、抽象轉(zhuǎn)化的能力以及解答實際問題的能力，強化應(yīng)用儀式。

教學過程

【復習要求】熟悉與數(shù)列知識相關(guān)的背景，如增長率、存款利息等問題，提高學生閱讀理解能力、抽象轉(zhuǎn)化的能力以及解答實際問題的能力，強化應(yīng)用儀式。_

【方法規(guī)律】應(yīng)用數(shù)列知識界實際應(yīng)用問題的關(guān)鍵是通過對實際問題的綜合分析，確定其數(shù)學模型是等差數(shù)列，還是等比數(shù)列，并確定其首項，公差(或公比)等基本元素，然后設(shè)計合理的計算方案，即數(shù)學建模是解答數(shù)列應(yīng)用題的關(guān)鍵。

一、基礎(chǔ)訓練

1.某種細菌在培養(yǎng)過程中，每20分鐘_一次(一個_為兩個)，經(jīng)過3小時，這種細菌由1個可繁殖成()

A、511B、512C、1023D、1024

2.若一工廠的生產(chǎn)總值的月平均增長率為p，則年平均增長率為()

A、B、

C、D、

二、典型例題

例1：某人每期期初到銀行存入一定金額A，每期利率為p，到第n期共有本金nA，第一期的利息是nAp，第二期的利息是(n-1)Ap……，第n期(即最后一期)的利息是Ap，問到第n期期末的本金和是多少?

評析：此例來自一種常見的存款叫做零存整取。存款的方式為每月的某日存入一定的金額，這是零存，一定時期到期，可以提出全部本金及利息，這是整取。計算本利和就是本例所用的有窮等差數(shù)列求和的方法。用實際問題列出就是：本利和=每期存入的金額[存期+1/2存期(存期+1)利率]

例2：某人從1999到20__年間，每年6月1日都到銀行存入m元的一年定期儲蓄，若每年利率q保持不變，且每年到期的存款本息均自動轉(zhuǎn)為新的一年定期，到20__年6月1日，此人到銀行不再存款，而是將所有存款的本息全部取回，則取回的金額是多少元?

例3、某地區(qū)位于沙漠邊緣，人與自然進行長期頑強的斗爭，到1999年底全地區(qū)的綠化率已達到30%，從2000年開始，每年將出現(xiàn)以下的變化：原有沙漠面積的16%將栽上樹，改造為綠洲，同時，原有綠洲面積的4%又被侵蝕，變?yōu)樯衬?問經(jīng)過多少年的努力才能使全縣的綠洲面積超過60%.(lg2=0.3)

例4、.流行性感冒(簡稱流感)是由流感病毒引起的急性呼吸道傳染病.某市去年11月分曾發(fā)生流感，據(jù)資料記載，11月1日，該市新的流感病毒感染者有20人，以后，每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人，由于該市醫(yī)療部門采取措施，使該種病毒的傳播得到控制，從某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染著減少30人，到11月30日止，該市在這30天內(nèi)感染該病毒的患者共有8670人，問11月幾日，該市感染此病毒的新的患者人數(shù)最多?并求這一天的新患者人數(shù).

數(shù)學高考教案篇2

一、說課內(nèi)容：

蘇教版高一年級數(shù)學下冊第六章第一節(jié)的二次函數(shù)的概念及相關(guān)習題

二、教材分析：

1、教材的地位和作用

這節(jié)課是在學生已經(jīng)學習了一次函數(shù)、正比例函數(shù)、反比例函數(shù)的基礎(chǔ)上，來學習二次函數(shù)的概念。二次函數(shù)是初中階段研究的最后一個具體的函數(shù)，也是最重要的，在歷年來的中考題中占有較大比例。同時，二次函數(shù)和以前學過的一元二次方程、一元二次不等式有著密切的聯(lián)系。進一步學習二次函數(shù)將為它們的解法提供新的方法和途徑，并使學生更為深刻的理解“數(shù)形結(jié)合”的重要思想。而本節(jié)課的二次函數(shù)的概念是學習二次函數(shù)的基礎(chǔ)，是為后來學習二次函數(shù)的圖象做鋪墊。所以這節(jié)課在整個教材中具有承上啟下的重要作用。

2、教學目標和要求：

(1)知識與技能：使學生理解二次函數(shù)的概念，掌握根據(jù)實際問題列出二次函數(shù)關(guān)系式的方法，并了解如何根據(jù)實際問題確定自變量的取值范圍。

(2)過程與方法：復習舊知，通過實際問題的引入，經(jīng)歷二次函數(shù)概念的探索過程，提高學生解決問題的能力.

(3)情感、態(tài)度與價值觀：通過觀察、操作、交流歸納等數(shù)學活動加深對二次函數(shù)概念的理解，發(fā)展學生的數(shù)學思維，增強學好數(shù)學的愿望與信心.

3、教學重點：對二次函數(shù)概念的理解。

4、教學難點：由實際問題確定函數(shù)解析式和確定自變量的取值范圍。

三、教法學法設(shè)計：

1、從創(chuàng)設(shè)情境入手，通過知識再現(xiàn)，孕伏教學過程

2、從學生活動出發(fā)，通過以舊引新，順勢教學過程

3、利用探索、研究手段，通過思維深入，領(lǐng)悟教學過程

四、教學過程：

(一)復習提問

1.什么叫函數(shù)?我們之前學過了那些函數(shù)?

(一次函數(shù)，正比例函數(shù)，反比例函數(shù))

2.它們的形式是怎樣的?

(y=kx+b，k≠0;y=kx,k≠0;y=,k≠0)

3.一次函數(shù)(y=kx+b)的自變量是什么?函數(shù)是什么?常量是什么?為什么要有k≠0的條件?k值對函數(shù)性質(zhì)有什么影響?

設(shè)計意圖復習這些問題是為了幫助學生弄清自變量、函數(shù)、常量等概念，加深對函數(shù)定義的理解.強調(diào)k≠0的條件，以備與二次函數(shù)中的a進行比較.

(二)引入新課

函數(shù)是研究兩個變量在某變化過程中的相互關(guān)系，我們已學過正比例函數(shù)，反比例函數(shù)和一次函數(shù)。看下面三個例子中兩個變量之間存在怎樣的關(guān)系。(電腦演示)

例1、(1)圓的半徑是r(cm)時，面積s(cm)與半徑之間的關(guān)系是什么?

解：s=πr(r>0)

例2、用周長為20m的籬笆圍成矩形場地，場地面積y(m)與矩形一邊長x(m)之間的關(guān)系是什么?

解：y=x(20/2-x)=x(10-x)=-x+10x(0

例3、設(shè)人民幣一年定期儲蓄的年利率是x，一年到期后，銀行將本金和利息自動按一年定期儲蓄轉(zhuǎn)存。如果存款額是100元，那么請問兩年后的本息和y(元)與x之間的關(guān)系是什么(不考慮利息稅)?

解：y=100(1+x)

=100(x+2x+1)

=100x+200x+100(0

教師提問：以上三個例子所列出的函數(shù)與一次函數(shù)有何相同點與不同點?

設(shè)計意圖通過具體事例，讓學生列出關(guān)系式，啟發(fā)學生觀察，思考，歸納出二次函數(shù)與一次函數(shù)的聯(lián)系：

(1)函數(shù)解析式均為整式(這表明這種函數(shù)與一次函數(shù)有共同的特征)。

(2)自變量的最高次數(shù)是2(這與一次函數(shù)不同)。

(三)講解新課

以上函數(shù)不同于我們所學過的一次函數(shù)，正比例函數(shù)，反比例函數(shù)，我們就把這種函數(shù)稱為二次函數(shù)。

二次函數(shù)的定義：形如y=ax2+bx+c(a≠0，a,b,c為常數(shù))的函數(shù)叫做二次函數(shù)。

鞏固對二次函數(shù)概念的理解：

1、強調(diào)“形如”，即由形來定義函數(shù)名稱。二次函數(shù)即y是關(guān)于x的二次多項式(關(guān)于的x代數(shù)式一定要是整式)。

2、在y=ax2+bx+c中自變量是x，它的取值范圍是一切實數(shù)。但在實際問題中，自變量的取值范圍是使實際問題有意義的值。(如例1中要求r>0)

3、為什么二次函數(shù)定義中要求a≠0?

(若a=0，ax2+bx+c就不是關(guān)于x的二次多項式了)

4、在例3中，二次函數(shù)y=100x2+200x+100中，a=100，b=200，c=100.

5、b和c是否可以為零?

由例1可知，b和c均可為零.

若b=0，則y=ax2+c;

若c=0，則y=ax2+bx;

若b=c=0，則y=ax2.

注明：以上三種形式都是二次函數(shù)的特殊形式，而y=ax2+bx+c是二次函數(shù)的一般形式.

設(shè)計意圖這里強調(diào)對二次函數(shù)概念的理解，有助于學生更好地理解，掌握其特征，為接下來的判斷二次函數(shù)做好鋪墊。

判斷：下列函數(shù)中哪些是二次函數(shù)?哪些不是二次函數(shù)?若是二次函數(shù)，指出a、b、c.

(1)y=3(x-1)+1(2)

(3)s=3-2t(4)y=(x+3)-x

(5)s=10πr(6)y=2+2x

(8)y=x4+2x2+1(可指出y是關(guān)于x2的二次函數(shù))

設(shè)計意圖理論學習完二次函數(shù)的概念后，讓學生在實踐中感悟什么樣的函數(shù)是二次函數(shù)，將理論知識應(yīng)用到實踐操作中。

五、教學設(shè)計思考

以實現(xiàn)教學目標為前提

以現(xiàn)代教育理論為依據(jù)

以現(xiàn)代信息技術(shù)為手段

貫穿一個原則——以學生為主體的原則

突出一個特色——充分鼓勵表揚的特色

滲透一個意識——應(yīng)用數(shù)學的意識

數(shù)學高考教案篇3

指數(shù)與指數(shù)冪的運算教案

整體設(shè)計

教學分析

我們在初中的學習過程中，已了解了整數(shù)指數(shù)冪的概念和運算性質(zhì).從本節(jié)開始我們將在回顧平方根和立方根的基礎(chǔ)上，類比出正數(shù)的n次方根的定義，從而把指數(shù)推廣到分數(shù)指數(shù).進而推廣到有理數(shù)指數(shù)，再推廣到實數(shù)指數(shù)，并將冪的運算性質(zhì)由整數(shù)指數(shù)冪推廣到實數(shù)指數(shù)冪.

教材為了讓學生在學習之外就感受到指數(shù)函數(shù)的實際背景，先給出兩個具體例子：GDP的增長問題和碳14的衰減問題.前一個問題，既讓學生回顧了初中學過的整數(shù)指數(shù)冪，也讓學生感受到其中的函數(shù)模型，并且還有思想教育價值.后一個問題讓學生體會其中的函數(shù)模型的同時，激發(fā)學生探究分數(shù)指數(shù)冪、無理數(shù)指數(shù)冪的興趣與欲望，為新知識的學習作了鋪墊.

本節(jié)安排的內(nèi)容蘊涵了許多重要的數(shù)學思想方法，如推廣的思想(指數(shù)冪運算律的推廣)、類比的思想、逼近的思想(有理數(shù)指數(shù)冪逼近無理數(shù)指數(shù)冪)、數(shù)形結(jié)合的思想(用指數(shù)函數(shù)的圖象研究指數(shù)函數(shù)的性質(zhì))等，同時，充分關(guān)注與實際問題的結(jié)合，體現(xiàn)數(shù)學的應(yīng)用價值.

根據(jù)本節(jié)內(nèi)容的特點，教學中要注意發(fā)揮信息技術(shù)的力量，盡量利用計算器和計算機創(chuàng)設(shè)教學情境，為學生的數(shù)學探究與數(shù)學思維提供支持.

三維目標

1.通過與初中所學的知識進行類比，理解分數(shù)指數(shù)冪的概念，進而學習指數(shù)冪的性質(zhì).掌握分數(shù)指數(shù)冪和根式之間的互化，掌握分數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì).培養(yǎng)學生觀察分析、抽象類比的能力.

2.掌握根式與分數(shù)指數(shù)冪的互化，滲透“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學思想.通過運算訓練，養(yǎng)成學生嚴謹治學，一絲不茍的學習習慣，讓學生了解數(shù)學來自生活，數(shù)學又服務(wù)于生活的哲理.

3.能熟練地運用有理指數(shù)冪運算性質(zhì)進行化簡、求值，培養(yǎng)學生嚴謹?shù)乃季S和科學正確的計算能力.

4.通過訓練及點評，讓學生更能熟練掌握指數(shù)冪的運算性質(zhì).展示函數(shù)圖象，讓學生通過觀察，進而研究指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，讓學生體驗數(shù)學的簡潔美和統(tǒng)一美.

重點難點

教學重點

(1)分數(shù)指數(shù)冪和根式概念的理解.

(2)掌握并運用分數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì).

(3)運用有理指數(shù)冪的性質(zhì)進行化簡、求值.

教學難點

(1)分數(shù)指數(shù)冪及根式概念的理解.

(2)有理指數(shù)冪性質(zhì)的靈活應(yīng)用.

課時安排

3課時

教學過程

第1課時

作者：路致芳

導入新課

思路1.同學們在預習的過程中能否知道考古學家如何判斷生物的發(fā)展與進化，又怎樣判斷它們所處的年代?(考古學家是通過對生物化石的研究來判斷生物的發(fā)展與進化的，第二個問題我們不太清楚)考古學家是按照這樣一條規(guī)律推測生物所處的年代的.教師板書本節(jié)課題：指數(shù)函數(shù)——指數(shù)與指數(shù)冪的運算.

思路2.同學們，我們在初中學習了平方根、立方根，那么有沒有四次方根、五次方根…n次方根呢?答案是肯定的，這就是我們本堂課研究的課題：指數(shù)函數(shù)——指數(shù)與指數(shù)冪的運算.

推進新課

新知探究

提出問題

(1)什么是平方根?什么是立方根?一個數(shù)的平方根有幾個，立方根呢?

(2)如x4=a，x5=a，x6=a，根據(jù)上面的結(jié)論我們又能得到什么呢?

(3)根據(jù)上面的結(jié)論我們能得到一般性的結(jié)論嗎?

(4)可否用一個式子表達呢?

活動：教師提示，引導學生回憶初中的時候已經(jīng)學過的平方根、立方根是如何定義的，對照類比平方根、立方根的定義解釋上面的式子，對問題(2)的結(jié)論進行引申、推廣，相互交流討論后回答，教師及時啟發(fā)學生，具體問題一般化，歸納類比出n次方根的概念，評價學生的思維.

討論結(jié)果：(1)若x2=a，則x叫做a的平方根，正實數(shù)的平方根有兩個，它們互為相反數(shù)，如：4的平方根為±2，負數(shù)沒有平方根，同理，若x3=a，則x叫做a的立方根，一個數(shù)的立方根只有一個，如：-8的立方根為-2.

(2)類比平方根、立方根的定義，一個數(shù)的四次方等于a，則這個數(shù)叫a的四次方根.一個數(shù)的五次方等于a，則這個數(shù)叫a的五次方根.一個數(shù)的六次方等于a，則這個數(shù)叫a的六次方根.

(3)類比(2)得到一個數(shù)的n次方等于a，則這個數(shù)叫a的n次方根.

(4)用一個式子表達是，若xn=a，則x叫a的n次方根.

教師板書n次方根的意義：

一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根(nthroot)，其中n>1且n∈正整數(shù)集.

可以看出數(shù)的平方根、立方根的概念是n次方根的概念的特例.

提出問題

(1)你能根據(jù)n次方根的意義求出下列數(shù)的n次方根嗎?(多媒體顯示以下題目).

①4的平方根;②±8的立方根;③16的4次方根;④32的5次方根;⑤-32的5次方根;⑥0的7次方根;⑦a6的立方根.

(2)平方根，立方根，4次方根，5次方根，7次方根，分別對應(yīng)的方根的指數(shù)是什么數(shù)，有什么特點?4，±8，16，-32，32，0，a6分別對應(yīng)什么性質(zhì)的數(shù)，有什么特點?

(3)問題(2)中，既然方根有奇次的也有偶次的，數(shù)a有正有負，還有零，結(jié)論有一個的，也有兩個的，你能否總結(jié)一般規(guī)律呢?

(4)任何一個數(shù)a的偶次方根是否存在呢?

活動：教師提示學生切實緊扣n次方根的概念，求一個數(shù)a的n次方根，就是求出的那個數(shù)的n次方等于a，及時點撥學生，從數(shù)的分類考慮，可以把具體的數(shù)寫出來，觀察數(shù)的特點，對問題(2)中的結(jié)論，類比推廣引申，考慮要全面，對回答正確的學生及時表揚，對回答不準確的學生提示引導考慮問題的思路.

討論結(jié)果：(1)因為±2的平方等于4，±2的立方等于±8，±2的4次方等于16,2的5次方等于32，-2的5次方等于-32,0的7次方等于0，a2的立方等于a6，所以4的平方根，±8的立方根，16的4次方根，32的5次方根，-32的5次方根，0的7次方根，a6的立方根分別是±2，±2，±2,2，-2,0，a2.

(2)方根的指數(shù)是2,3,4,5,7…特點是有奇數(shù)和偶數(shù).總的來看，這些數(shù)包括正數(shù)，負數(shù)和零.

(3)一個數(shù)a的奇次方根只有一個，一個正數(shù)a的偶次方根有兩個，是互為相反數(shù).0的任何次方根都是0.

(4)任何一個數(shù)a的偶次方根不一定存在，如負數(shù)的偶次方根就不存在，因為沒有一個數(shù)的偶次方是一個負數(shù).

類比前面的平方根、立方根，結(jié)合剛才的討論，歸納出一般情形，得到n次方根的性質(zhì)：

①當n為偶數(shù)時，正數(shù)a的n次方根有兩個，是互為相反數(shù)，正的n次方根用na表示，如果是負數(shù)，負的n次方根用-na表示，正的n次方根與負的n次方根合并寫成±na(a>0).

②n為奇數(shù)時，正數(shù)的n次方根是一個正數(shù)，負數(shù)的n次方根是一個負數(shù)，這時a的n次方根用符號na表示.

③負數(shù)沒有偶次方根;0的任何次方根都是零.

上面的文字語言可用下面的式子表示：

a為正數(shù)：n為奇數(shù)，a的n次方根有一個為na，n為偶數(shù)，a的n次方根有兩個為±na.

a為負數(shù)：n為奇數(shù)，a的n次方根只有一個為na，n為偶數(shù)，a的n次方根不存在.

零的n次方根為零，記為n0=0.

可以看出數(shù)的平方根、立方根的性質(zhì)是n次方根的性質(zhì)的特例.

思考

根據(jù)n次方根的性質(zhì)能否舉例說明上述幾種情況?

活動：教師提示學生對方根的性質(zhì)要分類掌握，即正數(shù)的奇偶次方根，負數(shù)的奇次方根，零的任何次方根，這樣才不重不漏，同時巡視學生，隨機給出一個數(shù)，我們寫出它的平方根，立方根，四次方根等，看是否有意義，注意觀察方根的形式，及時糾正學生在舉例過程中的問題.

解：答案不，比如，64的立方根是4,16的四次方根為±2，-27的5次方根為5-27，而-27的4次方根不存在等.其中5-27也表示方根，它類似于na的形式，現(xiàn)在我們給式子na一個名稱——根式.

根式的概念：

式子na叫做根式，其中a叫做被開方數(shù)，n叫做根指數(shù).

如3-27中，3叫根指數(shù)，-27叫被開方數(shù).

思考

nan表示an的n次方根，式子nan=a一定成立嗎?如果不一定成立，那么nan等于什么?

活動：教師讓學生注意討論n為奇偶數(shù)和a的符號，充分讓學生多舉實例，分組討論.教師點撥，注意歸納整理.

〔如3(-3)3=3-27=-3，4(-8)4=-8=8〕.

解答：根據(jù)n次方根的意義，可得：(na)n=a.

通過探究得到：n為奇數(shù)，nan=a.

n為偶數(shù)，nan=a=a，-a，a≥0，a<0.

因此我們得到n次方根的運算性質(zhì)：

①(na)n=a.先開方，再乘方(同次)，結(jié)果為被開方數(shù).

②n為奇數(shù)，nan=a.先奇次乘方，再開方(同次)，結(jié)果為被開方數(shù).

n為偶數(shù)，nan=a=a，-a，a≥0，a<0.先偶次乘方，再開方(同次)，結(jié)果為被開方數(shù)的絕對值.

應(yīng)用示例

思路1

例求下列各式的值：

(1)3(-8)3;(2)(-10)2;(3)4(3-π)4;(4)(a-b)2(a>b).

活動：求某些式子的值，首先考慮的應(yīng)是什么，明確題目的要求是什么，都用到哪些知識，關(guān)鍵是啥，搞清這些之后，再針對每一個題目仔細分析.觀察學生的解題情況，讓學生展示結(jié)果，抓住學生在解題過程中出現(xiàn)的問題并對癥下藥.求下列各式的值實際上是求數(shù)的方根，可按方根的運算性質(zhì)來解，首先要搞清楚運算順序，目的是把被開方數(shù)的符號定準，然后看根指數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)，如果是奇數(shù)，無需考慮符號，如果是偶數(shù)，開方的結(jié)果必須是非負數(shù).

解：(1)3(-8)3=-8;

(2)(-10)2=10;

(3)4(3-π)4=π-3;

(4)(a-b)2=a-b(a>b).

點評：不注意n的奇偶性對式子nan的值的影響，是導致問題出現(xiàn)的一個重要原因，要在理解的基礎(chǔ)上，記準，記熟，會用，活用.

變式訓練

求出下列各式的值：

(1)7(-2)7;

(2)3(3a-3)3(a≤1);

(3)4(3a-3)4.

解：(1)7(-2)7=-2，

(2)3(3a-3)3(a≤1)=3a-3，

(3)4(3a-3)4=

點評：本題易錯的是第(3)題，往往忽視a與1大小的討論，造成錯解.

思路2

例1下列各式中正確的是()

A.4a4=a

B.6(-2)2=3-2

C.a0=1

D.10(2-1)5=2-1

活動：教師提示，這是一道選擇題，本題考查n次方根的運算性質(zhì)，應(yīng)首先考慮根據(jù)方根的意義和運算性質(zhì)來解，既要考慮被開方數(shù)，又要考慮根指數(shù)，嚴格按求方根的步驟，體會方根運算的實質(zhì)，學生先思考哪些地方容易出錯，再回答.

解析：(1)4a4=a，考查n次方根的運算性質(zhì)，當n為偶數(shù)時，應(yīng)先寫nan=a，故A項錯.

(2)6(-2)2=3-2，本質(zhì)上與上題相同，是一個正數(shù)的偶次方根，根據(jù)運算順序也應(yīng)如此，結(jié)論為6(-2)2=32，故B項錯.

(3)a0=1是有條件的，即a≠0，故C項也錯.

(4)D項是一個正數(shù)的偶次方根，根據(jù)運算順序也應(yīng)如此，故D項正確.所以答案選D.

答案：D

點評：本題由于考查n次方根的運算性質(zhì)與運算順序，有時極易選錯，選四個答案的情況都會有，因此解題時千萬要細心.

例23+22+3-22=__________.

活動：讓同學們積極思考，交流討論，本題乍一看內(nèi)容與本節(jié)無關(guān)，但仔細一想，我們學習的內(nèi)容是方根，這里是帶有雙重根號的式子，去掉一層根號，根據(jù)方根的運算求出結(jié)果是解題的關(guān)鍵，因此將根號下面的式子化成一個完全平方式就更為關(guān)鍵了，從何處入手?需利用和的平方公式與差的平方公式化為完全平方式.正確分析題意是關(guān)鍵，教師提示，引導學生解題的思路.

解析：因為3+22=1+22+(2)2=(1+2)2=2+1，

3-22=(2)2-22+1=(2-1)2=2-1，

所以3+22+3-22=22.

答案：22

點評：不難看出3-22與3+22形式上有些特點，即是對稱根式，是A±2B形式的式子，我們總能找到辦法把其化成一個完全平方式.

思考

上面的例2還有別的解法嗎?

活動：教師引導，去根號常常利用完全平方公式，有時平方差公式也可，同學們觀察兩個式子的特點，具有對稱性，再考慮并交流討論，一個是“+”，一個是“-”，去掉一層根號后，相加正好抵消.同時借助平方差，又可去掉根號，因此把兩個式子的和看成一個整體，兩邊平方即可，探討得另一種解法.

另解：利用整體思想，x=3+22+3-22，

兩邊平方，得x2=3+22+3-22+2(3+22)(3-22)=6+232-(22)2=6+2=8，所以x=22.

點評：對雙重二次根式，特別是A±2B形式的式子，我們總能找到辦法將根號下面的式子化成一個完全平方式，問題迎刃而解，另外對A+2B±A-2B的式子，我們可以把它們看成一個整體利用完全平方公式和平方差公式去解.

變式訓練

若a2-2a+1=a-1，求a的取值范圍.

解：因為a2-2a+1=a-1，而a2-2a+1=(a-1)2=a-1=a-1，

即a-1≥0，

所以a≥1.

點評：利用方根的運算性質(zhì)轉(zhuǎn)化為去絕對值符號，是解題的關(guān)鍵.

知能訓練

(教師用多媒體顯示在屏幕上)

1.以下說法正確的是()

A.正數(shù)的n次方根是一個正數(shù)

B.負數(shù)的n次方根是一個負數(shù)

C.0的n次方根是零

D.a的n次方根用na表示(以上n>1且n∈正整數(shù)集)

答案：C

2.化簡下列各式：

(1)664;(2)4(-3)2;(3)4x8;(4)6x6y3;(5)(x-y)2.

答案：(1)2;(2)3;(3)x2;(4)xy;(5)x-y.

3.計算7+40+7-40=__________.

解析：7+40+7-40

=(5)2+25?2+(2)2+(5)2-25?2+(2)2

=(5+2)2+(5-2)2

=5+2+5-2

=25.

答案：25

拓展提升

問題：nan=a與(na)n=a(n>1，n∈N)哪一個是恒等式，為什么?請舉例說明.

活動：組織學生結(jié)合前面的例題及其解答，進行分析討論，解決這一問題要緊扣n次方根的定義.

通過歸納，得出問題結(jié)果，對a是正數(shù)和零，n為偶數(shù)時，n為奇數(shù)時討論一下.再對a是負數(shù)，n為偶數(shù)時，n為奇數(shù)時討論一下，就可得到相應(yīng)的結(jié)論.

解：(1)(na)n=a(n>1，n∈N).

如果xn=a(n>1，且n∈N)有意義，則無論n是奇數(shù)或偶數(shù)，x=na一定是它的一個n次方根，所以(na)n=a恒成立.

例如：(43)4=3，(3-5)3=-5.

(2)nan=a，a，當n為奇數(shù)，當n為偶數(shù).

當n為奇數(shù)時，a∈R，nan=a恒成立.

例如：525=2，5(-2)5=-2.

當n為偶數(shù)時，a∈R，an≥0，nan表示正的n次方根或0，所以如果a≥0，那么nan=a.例如434=3，40=0;如果a<0，那么nan=a=-a，如(-3)2=32=3，

即(na)n=a(n>1，n∈N)是恒等式，nan=a(n>1，n∈N)是有條件的.

點評：實質(zhì)上是對n次方根的概念、性質(zhì)以及運算性質(zhì)的深刻理解.

課堂小結(jié)

學生仔細交流討論后，在筆記上寫出本節(jié)課的學習收獲，教師用多媒體顯示在屏幕上.

1.如果xn=a，那么x叫a的n次方根，其中n>1且n∈正整數(shù)集.用式子na表示，式子na叫根式，其中a叫被開方數(shù)，n叫根指數(shù).

(1)當n為偶數(shù)時，a的n次方根有兩個，是互為相反數(shù)，正的n次方根用na表示，如果是負數(shù)，負的n次方根用-na表示，正的n次方根與負的n次方根合并寫成±na(a>0).

(2)n為奇數(shù)時，正數(shù)的n次方根是一個正數(shù)，負數(shù)的n次方根是一個負數(shù)，這時a的n次方根用符號na表示.

(3)負數(shù)沒有偶次方根.0的任何次方根都是零.

2.掌握兩個公式：n為奇數(shù)時，(na)n=a，n為偶數(shù)時，nan=a=a，-a，a≥0，a<0.

作業(yè)

課本習題2.1A組1.

補充作業(yè)：

1.化簡下列各式：

(1)681;(2)15-32;(3)6a2b4.

解：(1)681=634=332=39;

(2)15-32=-1525=-32;

(3)6a2b4=6(a?b2)2=3a?b2.

2.若5<a<8，則式子(a-5)2-(a-8)2的值為__________.<p="">

解析：因為5<a<8，所以(a-5)2-(a-8)2=a-5-8+a=2a-13.<p="">

答案：2a-13

3.5+26+5-26=__________.

解析：對雙重二次根式，我們覺得難以下筆，我們考慮只有在開方的前提下才可能解出，由此提示我們想辦法去掉一層根式，

不難看出5+26=(3+2)2=3+2.

同理5-26=(3-2)2=3-2.

所以5+26+5-26=23.

答案：23

設(shè)計感想

學生已經(jīng)學習了數(shù)的平方根和立方根，根式的內(nèi)容是這些內(nèi)容的推廣，本節(jié)課由于方根和根式的概念和性質(zhì)難以理解，在引入根式的概念時，要結(jié)合已學內(nèi)容，列舉具體實例，根式na的講解要分n是奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況來進行，每種情況又分a>0，a<0，a=0三種情況，并結(jié)合具體例子講解，因此設(shè)計了大量的類比和練習題目，要靈活處理這些題目，幫助學生加以理解，所以需要用多媒體信息技術(shù)服務(wù)教學.

第2課時

作者：郝云靜

導入新課

思路1.碳14測年法.原來宇宙射線在大氣層中能夠產(chǎn)生放射性碳14，并與氧結(jié)合成二氧化碳后進入所有活組織，先為植物吸收，再為動物吸收，只要植物和動物生存著，它們就會不斷地吸收碳14在機體內(nèi)保持一定的水平.而當有機體死亡后，即會停止吸收碳14，其組織內(nèi)的碳14便以約5730年的半衰期開始衰變并消失.對于任何含碳物質(zhì)只要測定剩下的放射性碳14的含量，便可推斷其年代(半衰期：經(jīng)過一定的時間，變?yōu)樵瓉淼囊话?.引出本節(jié)課題：指數(shù)與指數(shù)冪的運算之分數(shù)指數(shù)冪.

思路2.同學們，我們在初中學習了整數(shù)指數(shù)冪及其運算性質(zhì)，那么整數(shù)指數(shù)冪是否可以推廣呢?答案是肯定的.這就是本節(jié)的主講內(nèi)容，教師板書本節(jié)課題——指數(shù)與指數(shù)冪的運算之分數(shù)指數(shù)冪.

推進新課

新知探究

提出問題

(1)整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)是什么?

(2)觀察以下式子，并總結(jié)出規(guī)律：a>0，

①;

②a8=(a4)2=a4=，;

③4a12=4(a3)4=a3=;

④2a10=2(a5)2=a5=.

(3)利用(2)的規(guī)律，你能表示下列式子嗎?

，，，(x>0，m，n∈正整數(shù)集，且n>1).

(4)你能用方根的意義來解釋(3)的式子嗎?

(5)你能推廣到一般的情形嗎?

活動：學生回顧初中學習的整數(shù)指數(shù)冪及運算性質(zhì)，仔細觀察，特別是每題的開始和最后兩步的指數(shù)之間的關(guān)系，教師引導學生體會方根的意義，用方根的意義加以解釋，指點啟發(fā)學生類比(2)的規(guī)律表示，借鑒(2)(3)，我們把具體推廣到一般，對寫正確的同學及時表揚，其他學生鼓勵提示.

討論結(jié)果：(1)整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)：an=a?a?a?…?a，a0=1(a≠0);00無意義;

a-n=1an(a≠0);am?an=am+n;(am)n=amn;(an)m=amn;(ab)n=anbn.

(2)①a2是a10的5次方根;②a4是a8的2次方根;③a3是a12的4次方根;④a5是a10的2次方根.實質(zhì)上①5a10=，②a8=，③4a12=，④2a10=結(jié)果的a的指數(shù)是2,4,3,5分別寫成了105，82，124，105，形式上變了，本質(zhì)沒變.

根據(jù)4個式子的最后結(jié)果可以總結(jié)：當根式的被開方數(shù)的指數(shù)能被根指數(shù)整除時，根式可以寫成分數(shù)作為指數(shù)的形式(分數(shù)指數(shù)冪形式).

(3)利用(2)的規(guī)律，453=，375=，5a7=，nxm=.

(4)53的四次方根是，75的三次方根是，a7的五次方根是，xm的n次方根是.

結(jié)果表明方根的結(jié)果和分數(shù)指數(shù)冪是相通的.

(5)如果a>0，那么am的n次方根可表示為nam=，即=nam(a>0，m，n∈正整數(shù)集，n>1).

綜上所述，我們得到正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪的意義，教師板書：

規(guī)定：正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪的意義是=nam(a>0，m，n∈正整數(shù)集，n>1).

提出問題

(1)負整數(shù)指數(shù)冪的意義是怎樣規(guī)定的?

(2)你能得出負分數(shù)指數(shù)冪的意義嗎?

(3)你認為應(yīng)怎樣規(guī)定零的分數(shù)指數(shù)冪的意義?

(4)綜合上述，如何規(guī)定分數(shù)指數(shù)冪的意義?

(5)分數(shù)指數(shù)冪的意義中，為什么規(guī)定a>0，去掉這個規(guī)定會產(chǎn)生什么樣的后果?

(6)既然指數(shù)的概念就從整數(shù)指數(shù)推廣到了有理數(shù)指數(shù)，那么整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)是否也適用于有理數(shù)指數(shù)冪呢?

活動：學生回想初中學習的情形，結(jié)合自己的學習體會回答，根據(jù)零的整數(shù)指數(shù)冪的意義和負整數(shù)指數(shù)冪的意義來類比，把正分數(shù)指數(shù)冪的意義與負分數(shù)指數(shù)冪的意義融合起來，與整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)類比可得有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)，教師在黑板上板書，學生合作交流，以具體的實例說明a>0的必要性，教師及時作出評價.

討論結(jié)果：(1)負整數(shù)指數(shù)冪的意義是：a-n=1an(a≠0)，n∈N+.

(2)既然負整數(shù)指數(shù)冪的意義是這樣規(guī)定的，類比正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪的意義可得正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)冪的意義.

規(guī)定：正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)冪的意義是==1nam(a>0，m，n∈=N+，n>1).

(3)規(guī)定：零的分數(shù)指數(shù)冪的意義是：零的正分數(shù)次冪等于零，零的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義.

(4)教師板書分數(shù)指數(shù)冪的意義.分數(shù)指數(shù)冪的意義就是：

正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪的意義是=nam(a>0，m，n∈正整數(shù)集，n>1)，正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)冪的意義是==1nam(a>0，m，n∈正整數(shù)集，n>1)，零的正分數(shù)次冪等于零，零的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義.

(5)若沒有a>0這個條件會怎樣呢?

如=3-1=-1，=6(-1)2=1具有同樣意義的兩個式子出現(xiàn)了截然不同的結(jié)果，這只說明分數(shù)指數(shù)冪在底數(shù)小于零時是無意義的.因此在把根式化成分數(shù)指數(shù)時，切記要使底數(shù)大于零，如無a>0的條件，比如式子3a2=，同時負數(shù)開奇次方是有意義的，負數(shù)開奇次方時，應(yīng)把負號移到根式的外邊，然后再按規(guī)定化成分數(shù)指數(shù)冪，也就是說，負分數(shù)指數(shù)冪在有意義的情況下總表示正數(shù)，而不是負數(shù)，負數(shù)只是出現(xiàn)在指數(shù)上.

(6)規(guī)定了分數(shù)指數(shù)冪的意義后，指數(shù)的概念就從整數(shù)指數(shù)推廣到了有理數(shù)指數(shù).

有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)：對任意的有理數(shù)r，s，均有下面的運算性質(zhì)：

①ar?as=ar+s(a>0，r，s∈Q)，

②(ar)s=ars(a>0，r，s∈Q)，

③(a?b)r=arbr(a>0，b>0，r∈Q).

我們利用分數(shù)指數(shù)冪的意義和有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)可以解決一些問題，來看下面的例題.

應(yīng)用示例

例1求值：(1);(2);(3)12-5;(4).

活動：教師引導學生考慮解題的方法，利用冪的運算性質(zhì)計算出數(shù)值或化成最簡根式，根據(jù)題目要求，把底數(shù)寫成冪的形式，8寫成23,25寫成52，12寫成2-1，1681寫成234，利用有理數(shù)冪的運算性質(zhì)可以解答，完成后，把自己的答案用投影儀展示出來.

解：(1)=22=4;

(2)=5-1=15;

(3)12-5=(2-1)-5=2-1×(-5)=32;

(4)=23-3=278.

點評：本例主要考查冪值運算，要按規(guī)定來解.在進行冪值運算時，要首先考慮轉(zhuǎn)化為指數(shù)運算，而不是首先轉(zhuǎn)化為熟悉的根式運算，如=382=364=4.

例2用分數(shù)指數(shù)冪的形式表示下列各式.

a3?a;a2?3a2;a3a(a>0).

活動：學生觀察、思考，根據(jù)解題的順序，把根式化為分數(shù)指數(shù)冪，再由冪的運算性質(zhì)來運算，根式化為分數(shù)指數(shù)冪時，要由里往外依次進行，把握好運算性質(zhì)和順序，學生討論交流自己的解題步驟，教師評價學生的解題情況，鼓勵學生注意總結(jié).

解：a3?a=a3?=;

a2?3a2=a2?=;

a3a=.

點評：利用分數(shù)指數(shù)冪的意義和有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)進行根式運算時，其順序是先把根式化為分數(shù)指數(shù)冪，再由冪的運算性質(zhì)來運算.對于計算的結(jié)果，不強求統(tǒng)一用什么形式來表示，沒有特別要求，就用分數(shù)指數(shù)冪的形式來表示，但結(jié)果不能既有分數(shù)指數(shù)又有根式，也不能既有分母又有負指數(shù).

例3計算下列各式(式中字母都是正數(shù)).

(1);

(2).

活動：先由學生觀察以上兩個式子的特征，然后分析，四則運算的順序是先算乘方，再算乘除，最后算加減，有括號的先算括號內(nèi)的，整數(shù)冪的運算性質(zhì)及運算規(guī)律擴充到分數(shù)指數(shù)冪后，其運算順序仍符合我們以前的四則運算順序，再解答，把自己的答案用投影儀展示出來，相互交流，其中要注意到(1)小題是單項式的乘除運算，可以用單項式的乘除法運算順序進行，要注意符號，第(2)小題是乘方運算，可先按積的乘方計算，再按冪的乘方進行計算，熟悉后可以簡化步驟.

解：(1)原式=[2×(-6)÷(-3)]=4ab0=4a;

(2)=m2n-3=m2n3.

點評：分數(shù)指數(shù)冪不表示相同因式的積，而是根式的另一種寫法.有了分數(shù)指數(shù)冪，就可把根式轉(zhuǎn)化成分數(shù)指數(shù)冪的形式，用分數(shù)指數(shù)冪的運算法則進行運算了.

本例主要是指數(shù)冪的運算法則的綜合考查和應(yīng)用.

變式訓練

求值：(1)33?33?63;

(2)627m3125n64.

解：(1)33?33?63==32=9;

(2)627m3125n64==9m225n4=925m2n-4.

例4計算下列各式：

(1)(325-125)÷425;

(2)a2a?3a2(a>0).

活動：先由學生觀察以上兩個式子的特征，然后分析，化為同底.利用分數(shù)指數(shù)冪計算，在第(1)小題中，只含有根式，且不是同次根式，比較難計算，但把根式先化為分數(shù)指數(shù)冪再計算，這樣就簡便多了，第(2)小題也是先把根式轉(zhuǎn)化為分數(shù)指數(shù)冪后再由運算法則計算，最后寫出解答.

解：(1)原式=

==65-5;

(2)a2a?3a2==6a5.

知能訓練

課本本節(jié)練習1,2,3

【補充練習】

教師用實物投影儀把題目投射到屏幕上讓學生解答，教師巡視，啟發(fā)，對做得好的同學給予表揚鼓勵.

1.(1)下列運算中，正確的是()

A.a2?a3=a6B.(-a2)3=(-a3)2

C.(a-1)0=0D.(-a2)3=-a6

(2)下列各式①4(-4)2n，②4(-4)2n+1，③5a4，④4a5(各式的n∈N，a∈R)中，有意義的是()

A.①②B.①③C.①②③④D.①③④

(3)(34a6)2?(43a6)2等于()

A.aB.a2C.a3D.a4

(4)把根式-25(a-b)-2改寫成分數(shù)指數(shù)冪的形式為()

A.B.

C.D.

(5)化簡的結(jié)果是()

A.6aB.-aC.-9aD.9a

2.計算：(1)--17-2+-3-1+(2-1)0=__________.

(2)設(shè)5x=4,5y=2，則52x-y=__________.

3.已知x+y=12，xy=9且x<y，求p=""的值.

答案：1.(1)D(2)B(3)B(4)A(5)C2.(1)19(2)8

3.解：.

因為x+y=12，xy=9，所以(x-y)2=(x+y)2-4xy=144-36=108=4×27.

又因為x<y，所以x-y=-2×33=-63.<p="">

所以原式==12-6-63=-33.

拓展提升

1.化簡：.

活動：學生觀察式子特點，考慮x的指數(shù)之間的關(guān)系可以得到解題思路，應(yīng)對原式進行因式分解，根據(jù)本題的特點，注意到：

x-1=-13=;

x+1=+13=;

.

構(gòu)建解題思路教師適時啟發(fā)提示.

解：

=

=

=

=.

點撥：解這類題目，要注意運用以下公式，

=a-b，

=a±+b，

=a±b.

2.已知，探究下列各式的值的求法.

(1)a+a-1;(2)a2+a-2;(3).

解：(1)將，兩邊平方，得a+a-1+2=9，即a+a-1=7;

(2)將a+a-1=7兩邊平方，得a2+a-2+2=49，即a2+a-2=47;

(3)由于，

所以有=a+a-1+1=8.

點撥：對“條件求值”問題，一定要弄清已知與未知的聯(lián)系，然后采取“整體代換”或“求值后代換”兩種方法求值.

課堂小結(jié)

活動：教師，本節(jié)課同學們有哪些收獲?請把你的學習收獲記錄在你的筆記本上，同學們之間相互交流.同時教師用投影儀顯示本堂課的知識要點：

(1)分數(shù)指數(shù)冪的意義就是：正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪的意義是=nam(a>0，m，n∈正整數(shù)集，n>1)，正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)冪的意義是==1nam(a>0，m，n∈正整數(shù)集，n>1)，零的正分數(shù)次冪等于零，零的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義.

(2)規(guī)定了分數(shù)指數(shù)冪的意義后，指數(shù)的概念就從整數(shù)指數(shù)推廣到了有理數(shù)指數(shù).

(3)有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)：對任意的有理數(shù)r，s，均有下面的運算性質(zhì)：

①ar?as=ar+s(a>0，r，s∈Q)，

②(ar)s=ars(a>0，r，s∈Q)，

③(a?b)r=arbr(a>0，b>0，r∈Q).

(4)說明兩點：

①分數(shù)指數(shù)冪的意義是一種規(guī)定，我們前面所舉的例子只表明這種規(guī)定的合理性，其中沒有推出關(guān)系.

②整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)對任意的有理數(shù)指數(shù)冪也同樣適用.因而分數(shù)指數(shù)冪與根式可以互化，也可以利用=am來計算.

作業(yè)

課本習題2.1A組2,4.

設(shè)計感想

本節(jié)課是分數(shù)指數(shù)冪的意義的引出及應(yīng)用，分數(shù)指數(shù)是指數(shù)概念的又一次擴充，要讓學生反復理解分數(shù)指數(shù)冪的意義，教學中可以通過根式與分數(shù)指數(shù)冪的互化來鞏固加深對這一概念的理解，用觀察、歸納和類比的方法完成，由于是硬性的規(guī)定，沒有合理的解釋，因此多安排一些練習，強化訓練，鞏固知識，要輔助以信息技術(shù)的手段來完成大容量的課堂教學任務(wù).

第3課時

作者：鄭芳鳴

導入新課

思路1.同學們，既然我們把指數(shù)從正整數(shù)推廣到整數(shù)，又從整數(shù)推廣到正分數(shù)到負分數(shù)，這樣指數(shù)就推廣到有理數(shù)，那么它是否也和數(shù)的推廣一樣，到底有沒有無理數(shù)指數(shù)冪呢?回顧數(shù)的擴充過程，自然數(shù)到整數(shù)，整數(shù)到分數(shù)(有理數(shù))，有理數(shù)到實數(shù).并且知道，在有理數(shù)到實數(shù)的擴充過程中，增添的數(shù)是無理數(shù).對無理數(shù)指數(shù)冪，也是這樣擴充而來.既然如此，我們這節(jié)課的主要內(nèi)容是：教師板書本堂課的課題〔指數(shù)與指數(shù)冪的運算(3)〕之無理數(shù)指數(shù)冪.

思路2.同學們，在初中我們學習了函數(shù)的知識，對函數(shù)有了一個初步的了解，到了高中，我們又對函數(shù)的概念進行了進一步的學習，有了更深的理解，我們僅僅學了幾種簡單的函數(shù)，如一次函數(shù)、二次函數(shù)、正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、三角函數(shù)等，這些遠遠不能滿足我們的需要，隨著科學的發(fā)展，社會的進步，我們還要學習許多函數(shù)，其中就有指數(shù)函數(shù)，為了學習指數(shù)函數(shù)的知識，我們必須學習實數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)，為此，我們必須把指數(shù)冪從有理數(shù)指數(shù)冪擴充到實數(shù)指數(shù)冪，因此我們本節(jié)課學習：指數(shù)與指數(shù)冪的運算(3)之無理數(shù)指數(shù)冪，教師板書本節(jié)課的課題.

推進新課

新知探究

提出問題

(1)我們知道2=1.41421356…，那么1.41,1.414,1.4142,1.41421，…，是2的什么近似值?而1.42,1.415,1.4143,1.41422，…，是2的什么近似值?

(2)多媒體顯示以下圖表：同學們從上面的兩個表中，能發(fā)現(xiàn)什么樣的規(guī)律?

2的過剩近似值

的近似值

1.511.18033989

1.429.829635328

1.4159.750851808

1.41439.73987262

1.414229.738618643

1.4142149.738524602

1.41421369.738518332

1.414213579.738517862

1.4142135639.738517752

……

的近似值

2的不足近似值

9.5182696941.4

9.6726699731.41

9.7351710391.414

9.7383051741.4142

9.7384619071.41421

9.7385089281.414213

9.7385167651.4142135

9.7385177051.41421356

9.7385177361.414213562

……

(3)你能給上述思想起個名字嗎?

(4)一個正數(shù)的無理數(shù)次冪到底是一個什么性質(zhì)的數(shù)呢?如，根據(jù)你學過的知識，能作出判斷并合理地解釋嗎?

(5)借助上面的結(jié)論你能說出一般性的結(jié)論嗎?

活動：教師引導，學生回憶，教師提問，學生回答，積極交流，及時評價學生，學生有困惑時加以解釋，可用多媒體顯示輔助內(nèi)容：

問題(1)從近似值的分類來考慮，一方面從大于2的方向，另一方面從小于2的方向.

問題(2)對圖表的觀察一方面從上往下看，再一方面從左向右看，注意其關(guān)聯(lián).

問題(3)上述方法實際上是無限接近，最后是逼近.

問題(4)對問題給予大膽猜測，從數(shù)軸的觀點加以解釋.

問題(5)在(3)(4)的基礎(chǔ)上，推廣到一般的情形，即由特殊到一般.

討論結(jié)果：(1)1.41,1.414,1.4142,1.41421，…這些數(shù)都小于2，稱2的不足近似值，而1.42，1.415,1.4143,1.41422，…，這些數(shù)都大于2，稱2的過剩近似值.

(2)第一個表：從大于2的方向逼近2時，就從51.5,51.42,51.415,51.4143,51.41422，…，即大于的方向逼近.

第二個表：從小于2的方向逼近2時，就從51.4,51.41,51.414,51.4142,51.41421，…，即小于的方向逼近.

從另一角度來看這個問題，在數(shù)軸上近似地表示這些點，數(shù)軸上的數(shù)字表明一方面從51.4,51.41,51.414,51.4142,51.41421，…，即小于的方向接近，而另一方面從51.5,51.42,51.415,51.4143,51.41422，…，即大于的方向接近，可以說從兩個方向無限地接近，即逼近，所以是一串有理數(shù)指數(shù)冪51.4,51.41,51.414,51.4142,51.41421，…，和另一串有理數(shù)指數(shù)冪51.5,51.42,51.415,51.4143,51.41422，…，按上述變化規(guī)律變化的結(jié)果，事實上表示這些數(shù)的點從兩個方向向表示的點靠近，但這個點一定在數(shù)軸上，由此我們可得到的結(jié)論是一定是一個實數(shù)，即51.4<51.41<51.414<51.4142<51.41421<…<<…<51.41422<51.4143<51.415<51.42<51.5.

充分表明是一個實數(shù).

(3)逼近思想，事實上里面含有極限的思想，這是以后要學的知識.

(4)根據(jù)(2)(3)我們可以推斷是一個實數(shù)，猜測一個正數(shù)的無理數(shù)次冪是一個實數(shù).

(5)無理數(shù)指數(shù)冪的意義：

一般地，無理數(shù)指數(shù)冪aα(a>0，α是無理數(shù))是一個確定的實數(shù).

也就是說無理數(shù)可以作為指數(shù)，并且它的結(jié)果是一個實數(shù)，這樣指數(shù)概念又一次得到推廣，在數(shù)的擴充過程中，我們知道有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù).我們規(guī)定了無理數(shù)指數(shù)冪的意義，知道它是一個確定的實數(shù)，結(jié)合前面的有理數(shù)指數(shù)冪，那么，指數(shù)冪就從有理數(shù)指數(shù)冪擴充到實數(shù)指數(shù)冪.

提出問題

(1)為什么在規(guī)定無理數(shù)指數(shù)冪的意義時，必須規(guī)定底數(shù)是正數(shù)?

(2)無理數(shù)指數(shù)冪的運算法則是怎樣的?是否與有理數(shù)指數(shù)冪的運算法則相通呢?

(3)你能給出實數(shù)指數(shù)冪的運算法則嗎?

活動：教師組織學生互助合作，交流探討，引導他們用反例說明問題，注意類比，歸納.

對問題(1)回顧我們學習分數(shù)指數(shù)冪的意義時對底數(shù)的規(guī)定，舉例說明.

對問題(2)結(jié)合有理數(shù)指數(shù)冪的運算法則，既然無理數(shù)指數(shù)冪aα(a>0，α是無理數(shù))是一個確定的實數(shù)，那么無理數(shù)指數(shù)冪的運算法則應(yīng)當與有理數(shù)指數(shù)冪的運算法則類似，并且相通.

對問題(3)有了有理數(shù)指數(shù)冪的運算法則和無理數(shù)指數(shù)冪的運算法則，實數(shù)的運算法則自然就得到了.

討論結(jié)果：(1)底數(shù)大于零的必要性，若a=-1，那么aα是+1還是-1就無法確定了，這樣就造成混亂，規(guī)定了底數(shù)是正數(shù)后，無理數(shù)指數(shù)冪aα是一個確定的實數(shù)，就不會再造成混亂.

(2)因為無理數(shù)指數(shù)冪是一個確定的實數(shù)，所以能進行指數(shù)的運算，也能進行冪的運算，有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)，同樣也適用于無理數(shù)指數(shù)冪.類比有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)可以得到無理數(shù)指數(shù)冪的運算法則：

①ar?as=ar+s(a>0，r，s都是無理數(shù)).

②(ar)s=ars(a>0，r，s都是無理數(shù)).

③(a?b)r=arbr(a>0，b>0，r是無理數(shù)).

(3)指數(shù)冪擴充到實數(shù)后，指數(shù)冪的運算性質(zhì)也就推廣到了實數(shù)指數(shù)冪.

實數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)：

對任意的實數(shù)r，s，均有下面的運算性質(zhì)：

①ar?as=ar+s(a>0，r，s∈R).

②(ar)s=ars(a>0，r，s∈R).

③(a?b)r=arbr(a>0，b>0，r∈R).

應(yīng)用示例

例1利用函數(shù)計算器計算.(精確到0.001)

(1)0.32.1;(2)3.14-3;(3);(4).

活動：教師教會學生利用函數(shù)計算器計算，熟悉計算器的各鍵的功能，正確輸入各類數(shù)，算出數(shù)值，對于(1)，可先按底數(shù)0.3，再按xy鍵，再按冪指數(shù)2.1，最后按=，即可求得它的值;

對于(2)，先按底數(shù)3.14，再按xy鍵，再按負號-鍵，再按3，最后按=即可;

對于(3)，先按底數(shù)3.1，再按xy鍵，再按3÷4，最后按=即可;

對于(4)，這種無理指數(shù)冪，可先按底數(shù)3，其次按xy鍵，再按鍵，再按3，最后按=鍵.有時也可按2ndf或shift鍵，使用鍵上面的功能去運算.

學生可以相互交流，挖掘計算器的用途.

解：(1)0.32.1≈0.080;(2)3.14-3≈0.032;(3)≈2.336;(4)≈6.705.

點評：熟練掌握用計算器計算冪的值的方法與步驟，感受現(xiàn)代技術(shù)的威力，逐步把自己融入現(xiàn)代信息社會;用四舍五入法求近似值，若保留小數(shù)點后n位，只需看第(n+1)位能否進位即可.

例2求值或化簡.

(1)a-4b23ab2(a>0，b>0);

(2)(a>0，b>0);

(3)5-26+7-43-6-42.

活動：學生觀察，思考，所謂化簡，即若能化為常數(shù)則化為常數(shù)，若不能化為常數(shù)則應(yīng)使所化式子達到最簡，對既有分數(shù)指數(shù)冪又有根式的式子，應(yīng)該把根式統(tǒng)一化為分數(shù)指數(shù)冪的形式，便于運算，教師有針對性地提示引導，對(1)由里向外把根式化成分數(shù)指數(shù)冪，要緊扣分數(shù)指數(shù)冪的意義和運算性質(zhì)，對(2)既有分數(shù)指數(shù)冪又有根式，應(yīng)當統(tǒng)一起來，化為分數(shù)指數(shù)冪，對(3)有多重根號的式子，應(yīng)先去根號，這里是二次根式，被開方數(shù)應(yīng)湊完全平方，這樣，把5,7,6拆成(3)2+(2)2,22+(3)2,22+(2)2，并對學生作及時的評價，注意總結(jié)解題的方法和規(guī)律.

解：(1)a-4b23ab2==3b46a11.

點評：根式的運算常常化成冪的運算進行，計算結(jié)果如沒有特殊要求，就用根式的形式來表示.

(2)

=

=425a0b0=425.

點評：化簡這類式子一般有兩種辦法，一是首先用負指數(shù)冪的定義把負指數(shù)化成正指數(shù)，另一個方法是采用分式的基本性質(zhì)把負指數(shù)化成正指數(shù).

(3)5-26+7-43-6-42

=(3-2)2+(2-3)2-(2-2)2

=3-2+2-3-2+2=0.

點評：考慮根號里面的數(shù)是一個完全平方數(shù)，千萬注意方根的性質(zhì)的運用.

例3已知，n∈正整數(shù)集，求(x+1+x2)n的值.

活動：學生思考，觀察題目的特點，從整體上看，應(yīng)先化簡，然后再求值，要有預見性，與具有對稱性，它們的積是常數(shù)1，為我們解題提供了思路，教師引導學生考慮問題的思路，必要時給予提示.

=.

這時應(yīng)看到1+x2=，

這樣先算出1+x2，再算出1+x2，代入即可.

解：將代入1+x2，得1+x2=，

所以(x+1+x2)n=

=

==5.

點評：運用整體思想和完全平方公式是解決本題的關(guān)鍵，要深刻理解這種做法.

知能訓練

課本習題2.1A組3.

利用投影儀投射下列補充練習：

1.化簡：的結(jié)果是()

A.B.

C.D.

解析：根據(jù)本題的特點，注意到它的整體性，特別是指數(shù)的規(guī)律性，我們可以進行適當?shù)淖冃?

因為，所以原式的分子分母同乘以.

依次類推，所以.

答案：A

2.計算2790.5+0.1-2+-3π0+9-0.5+490.5×2-4.

解：原式=

=53+100+916-3+13+716=100.

3.計算a+2a-1+a-2a-1(a≥1).

解：原式=(a-1+1)2+(a-1-1)2=a-1+1+a-1-1(a≥1).

本題可以繼續(xù)向下做，去掉絕對值，作為思考留作課下練習.

4.設(shè)a>0，，則(x+1+x2)n的值為__________.

解析：1+x2=.

這樣先算出1+x2，再算出1+x2，

將代入1+x2，得1+x2=.

所以(x+1+x2)n=

==a.

答案：a

拓展提升

參照我們說明無理數(shù)指數(shù)冪的意義的過程，請你說明無理數(shù)指數(shù)冪的意義.

活動：教師引導學生回顧無理數(shù)指數(shù)冪的意義的過程，利用計算器計算出3的近似值，取它的過剩近似值和不足近似值，根據(jù)這些近似值計算的過剩近似值和不足近似值，利用逼近思想，“逼出”的意義，學生合作交流，在投影儀上展示自己的探究結(jié)果.

解：3=1.73205080…，取它的過剩近似值和不足近似值如下表.

3的過剩近似值

的過剩近似值

3的不足近似值

的不足近似值

1.83.4822022531.73.249009585

1.743.3403516781.733.317278183

1.7333.3241834461.7313.319578342

1.73213.322110361.73193.321649849

1.732063.3220182521.732043.3219722

1.7320513.3219975291.7320493.321992923

1.73205093.3219972981.73205073.321996838

1.732050813.3219970911.732050793.321997045

…………

我們把用2作底數(shù)，3的不足近似值作指數(shù)的各個冪排成從小到大的一列數(shù)

21.7,21.72,21.731,21.7319，…，

同樣把用2作底數(shù)，3的過剩近似值作指數(shù)的各個冪排成從大到小的一列數(shù)：

21.8,21.74,21.733,21.7321，…，不難看出3的過剩近似值和不足近似值相同的位數(shù)越多，即3的近似值精確度越高，以其過剩近似值和不足近似值為指數(shù)的冪2α會越來越趨近于同一個數(shù)，我們把這個數(shù)記為，

即21.7<21.73<21.731<21.7319<…<<…<21.7321<21.733<21.74<21.8.

也就是說是一個實數(shù)，=3.321997…也可以這樣解釋：

當3的過剩近似值從大于3的方向逼近3時，23的近似值從大于的方向逼近;

當3的不足近似值從小于3的方向逼近3時，23的近似值從小于的方向逼近.

所以就是一串有理指數(shù)冪21.7,21.73,21.731,21.7319，…，和另一串有理指數(shù)冪21.8,21.74,21.733,21.7321，…，按上述規(guī)律變化的結(jié)果，即≈3.321997.

課堂小結(jié)

(1)無理指數(shù)冪的意義.

一般地，無理數(shù)指數(shù)冪aα(a>0，α是無理數(shù))是一個確定的實數(shù).

(2)實數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)：

對任意的實數(shù)r，s，均有下面的運算性質(zhì)：

①ar?as=ar+s(a>0，r，s∈R).

②(ar)s=ars(a>0，r，s∈R).

③(a?b)r=arbr(a>0，b>0，r∈R).

(3)逼近的思想，體會無限接近的含義.

作業(yè)

課本習題2.1B組2.

設(shè)計感想

無理數(shù)指數(shù)是指數(shù)概念的又一次擴充，教學中要讓學生通過多媒體的演示，理解無理數(shù)指數(shù)冪的意義，教學中也可以讓學生自己通過實際情況去探索，自己得出結(jié)論，加深對概念的理解，本堂課內(nèi)容較為抽象，又不能進行推理，只能通過多媒體的教學手段，讓學生體會，特別是逼近的思想、類比的思想，多作練習，提高學生理解問題、分析問題的能力.

備課資料

【備用習題】

1.以下各式中成立且結(jié)果為最簡根式的是()

A.a?5a3a?10a7=10a4

B.3xy2(xy)2=y?3x2

C.a2bb3aab3=8a7b15

D.(35-125)3=5+125125-235?125

答案：B

2.對于a>0，r，s∈Q，以下運算中正確的是()

A.ar?as=arsB.(ar)s=ars

C.abr=ar?bsD.arbs=(ab)r+s

答案：B

3.式子x-2x-1=x-2x-1成立當且僅當()

A.x-2x-1≥0B.x≠1C.x<1D.x≥2

解析：方法一：

要使式子x-2x-1=x-2x-1成立，需x-1>0，x-2≥0，即x≥2.

若x≥2，則式子x-2x-1=x-2x-1成立.

故選D.

方法二：

對A，式子x-2x-1≥0連式子成立也保證不了，尤其x-2≤0，x-1<0時式子不成立.

對B，x-1<0時式子不成立.

對C，x<1時x-1無意義.

對D正確.

答案：D

4.化簡b-(2b-1)(1<b<2).<p="">

解：b-(2b-1)=(b-1)2=b-1(1<b<2).<p="">

5.計算32+5+32-5.

解：令x=32+5+32-5，

兩邊立方得x3=2+5+2-5+332+5?32-5?(32+5+32-5)，即x3=4-3x，x3+3x-4=0.∴(x-1)(x2+x+4)=0.

∵x2+x+4=x+122+154>0，∴x-1=0，即x=1.

∴32+5+32-5=1.

數(shù)學高考教案篇4

一、教學內(nèi)容分析

1、教學主要內(nèi)容

(1)平面向量數(shù)量積及其幾何意義

(2)用平面向量處理有關(guān)長度、角度、直垂問題

2、教材編寫特點

本節(jié)是必修4第二章第3節(jié)的內(nèi)容，在教材中起到層上啟下的作用。

3、教學內(nèi)容的核心教學思想

用數(shù)量積求夾角，距離及平面向量數(shù)量積的坐標運算，滲透化歸思想以及數(shù)形結(jié)合思想。

4、我的思考

本節(jié)數(shù)學的目標為讓學生掌握平面向量數(shù)量積的定義，及應(yīng)用平面向量數(shù)量積的定義處理相關(guān)夾角距離及垂直的問題。因此，讓學生們學會把數(shù)學問題轉(zhuǎn)化到圖形中，及能在圖形中把圖形轉(zhuǎn)化成相關(guān)的數(shù)學問題尤其重要。

二、學生分析

1、在學平面向量的數(shù)量積之前，學習已經(jīng)認識并會找向量的夾角，及用坐標表示向量的知識。因此，對于a·b=∣b∣︳a︴cosθ(θ=)，容易進行相應(yīng)的簡單計算，但對于理解這個式子上存在一定的問題，因此，需把a·b=∣a∣∣b∣cosθ轉(zhuǎn)化到圖形

a·b=∣OM∣·∣OB∣=∣b∣cosθ∣a∣

即a·b=∣a∣∣b∣cosθ理解并記憶。

對于cosθ=，等的變形應(yīng)用，同學們甚感興趣。

2、我的思考

對于基礎(chǔ)薄弱的學生而言，學習本節(jié)知識，在處理例題成練習上，計算量不易過大。

三、學習目標

1、知識與技能

(1)掌握平面向量數(shù)量積及其幾何意義。

(2)平面向量數(shù)量積的應(yīng)用。

2、過程與方法

通過學生小組探究學習，討論并得出結(jié)論。

3、情感態(tài)度與價值觀

培養(yǎng)學生運算推理的能力。

四、教學活動

內(nèi)容師生互動設(shè)計意圖時間1、課題引入師：請同學請回憶我們所學過的相關(guān)同里的運算。

生：加法、減法，數(shù)乘

師：這些運算所得的結(jié)果是數(shù)還是向量。

生：向量。

師：今天我們來學習一種有關(guān)向量的新的運輸，數(shù)里積(板書課題)由舊知引出新知，讓學生知道我們學習是層層深入，知識永不止境，從而把學生引入到新的課程學習中來。3min2、平面向里的數(shù)量積定義師：平面向星數(shù)量積(內(nèi)積或點積)的定義：

已知兩個非零向星a·b，它們的夾角是θ，則數(shù)量∣a∣·∣b∣cosθ叫a與b的數(shù)量積，記作a·b，即a·b=∣a∣∣b∣cosθ，注：①a·b≠a×b≠ab

②O與任何向量的數(shù)里積為O。直接給出定義，可以讓學習對新知識的求知數(shù)得到滿足，并對新知識的探究有一個方向性。5min3、幾何意義師：同學們猜想

a·b=∣a∣∣b∣cosQ

用圖怎么表示

生：a·b=∣a∣·∣b∣cosθ

=∣OM∣·∣OB∣

師：數(shù)里積a·b等于a的長度與b在a方向上的投影∣b∣cosθ的面積。

師：請同學們討論數(shù)量積且有哪些性質(zhì)

通過自己畫圖培養(yǎng)學生把問題轉(zhuǎn)化到圖形上，到圖形上解決問題的能力。

5min性質(zhì)師：同學們a·b為非零向果，a·b=∣a∣·∣b∣cosθ。當θ=0°，90°，180°時，a·b有什么性質(zhì)呢。

生：①當θ=90°時

a·b=a·b=∣a∣·∣b∣cosθ

②當a與b同向時

即θ=0°，則a·b=∣a∣·∣b∣

當a與b反向時，

即θ=180°，則a·b=∣a∣·∣b∣

特別a·a=∣a∣2成∣a∣=a·a

③∣a∣·∣b∣≤∣a∣∣b∣

學生自己的探究性質(zhì)，體會并深入理解向里數(shù)量的運算性質(zhì)。8min生：①a·b=b·a(交換)

②(λa)·b=λ(a·b)

數(shù)學高考教案篇5

函數(shù)單調(diào)性與奇偶性

教學目標

1.了解函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的概念,掌握有關(guān)證明和判斷的基本方法.

(1)了解并區(qū)分增函數(shù),減函數(shù),單調(diào)性,單調(diào)區(qū)間,奇函數(shù),偶函數(shù)等概念.

(2)能從數(shù)和形兩個角度認識單調(diào)性和奇偶性.

(3)能借助圖象判斷一些函數(shù)的單調(diào)性,能利用定義證明某些函數(shù)的單調(diào)性;能用定義判斷某些函數(shù)的奇偶性,并能利用奇偶性簡化一些函數(shù)圖象的繪制過程.

2.通過函數(shù)單調(diào)性的證明,提高學生在代數(shù)方面的推理論證能力;通過函數(shù)奇偶性概念的形成過程,培養(yǎng)學生的觀察,歸納,抽象的能力,同時滲透數(shù)形結(jié)合,從特殊到一般的數(shù)學思想.

3.通過對函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的理論研究,增學生對數(shù)學美的體驗,培養(yǎng)樂于求索的精神,形成科學,嚴謹?shù)难芯繎B(tài)度.

教學建議

一、知識結(jié)構(gòu)

(1)函數(shù)單調(diào)性的概念。包括增函數(shù)、減函數(shù)的定義，單調(diào)區(qū)間的概念函數(shù)的單調(diào)性的判定方法，函數(shù)單調(diào)性與函數(shù)圖像的關(guān)系.

(2)函數(shù)奇偶性的概念。包括奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義，函數(shù)奇偶性的判定方法，奇函數(shù)、偶函數(shù)的圖像.

二、重點難點分析

(1)本節(jié)教學的重點是函數(shù)的單調(diào)性,奇偶性概念的形成與認識.教學的難點是領(lǐng)悟函數(shù)單調(diào)性,奇偶性的本質(zhì),掌握單調(diào)性的證明.

(2)函數(shù)的單調(diào)性這一性質(zhì)學生在初中所學函數(shù)中曾經(jīng)了解過,但只是從圖象上直觀觀察圖象的上升與下降,而現(xiàn)在要求把它上升到理論的高度,用準確的數(shù)學語言去刻畫它.這種由形到數(shù)的翻譯,從直觀到抽象的轉(zhuǎn)變對高一的學生來說是比較困難的,因此要在概念的形成上重點下功夫.單調(diào)性的證明是學生在函數(shù)內(nèi)容中首次接觸到的代數(shù)論證內(nèi)容,學生在代數(shù)論證推理方面的能力是比較弱的,許多學生甚至還搞不清什么是代數(shù)證明,也沒有意識到它的重要性,所以單調(diào)性的證明自然就是教學中的難點.

三、教法建議

(1)函數(shù)單調(diào)性概念引入時,可以先從學生熟悉的一次函數(shù),,二次函數(shù).反比例函數(shù)圖象出發(fā),回憶圖象的增減性,從這點感性認識出發(fā),通過問題逐步向抽象的定義靠攏.如可以設(shè)計這樣的問題:圖象怎么就升上去了?可以從點的坐標的角度,也可以從自變量與函數(shù)值的關(guān)系的角度來解釋,引導學生發(fā)現(xiàn)自變量與函數(shù)值的的變化規(guī)律,再把這種規(guī)律用數(shù)學語言表示出來.在這個過程中對一些關(guān)鍵的詞語(某個區(qū)間,任意,都有)的理解與必要性的認識就可以融入其中,將概念的形成與認識結(jié)合起來.

(2)函數(shù)單調(diào)性證明的步驟是嚴格規(guī)定的,要讓學生按照步驟去做,就必須讓他們明確每一步的必要性,每一步的目的,特別是在第三步變形時,讓學生明確變換的目標,到什么程度就可以斷號,在例題的選擇上應(yīng)有不同的變換目標為選題的標準,以便幫助學生總結(jié)規(guī)律.

函數(shù)的奇偶性概念引入時,可設(shè)計一個課件,以的圖象為例,讓自變量互為相反數(shù),觀察對應(yīng)的函數(shù)值的變化規(guī)律,先從具體數(shù)值

開始,逐漸讓 在數(shù)軸上動起來,觀察任意性,再讓學生把看到的用數(shù)學表達式寫出來.經(jīng)歷了這樣的過程,再得到等式

時,就比較容易體會它代表的是無數(shù)多個等式,是個恒等式.關(guān)于定義域關(guān)于原點對稱的問題,也可借助課件將函數(shù)圖象進行多次改動,幫助學生發(fā)現(xiàn)定義域的對稱性,同時還可以借助圖象(如)說明定義域關(guān)于原點對稱只是函數(shù)具備奇偶性的必要條件而不是充分條件.

數(shù)學高考教案篇6

1.1.1任意角

教學目標

(一)知識與技能目標

理解任意角的概念(包括正角、負角、零角)與區(qū)間角的概念.

(二)過程與能力目標

會建立直角坐標系討論任意角,能判斷象限角,會書寫終邊相同角的集合;掌握區(qū)間角的集合的書寫.

(三)情感與態(tài)度目標

1.提高學生的推理能力;

2.培養(yǎng)學生應(yīng)用意識.教學重點

任意角概念的理解;區(qū)間角的集合的書寫.教學難點

終邊相同角的集合的表示;區(qū)間角的集合的書寫.

教學過程

一、引入：

1.回顧角的定義

①角的第一種定義是有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角.

②角的第二種定義是角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所形成的圖形.

二、新課：

1.角的有關(guān)概念：

①角的定義：

角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所形成的圖形.

②角的名稱：

③角的分類：A

正角：按逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角零角：射線沒有任何旋轉(zhuǎn)形成的角

負角：按順時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角

④注意：

⑴在不引起混淆的情況下，“角α”或“∠α”可以簡化成“α”;

⑵零角的終邊與始邊重合，如果α是零角α=0°;

⑶角的概念經(jīng)過推廣后，已包括正角、負角和零角.

⑤練習：請說出角α、β、γ各是多少度?

2.象限角的概念：

①定義：若將角頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合，那么角的終邊(端點除外)在第幾象限，我們就說這個角是第幾象限角.

例1.在直角坐標系中，作出下列各角，并指出它們是第幾象限的角.

⑴60°;⑵120°;⑶240°;⑷300°;⑸420°;⑹480°;

答：分別為1、2、3、4、1、2象限角.

3.探究：教材P3面

終邊相同的角的表示：

所有與角α終邊相同的角，連同α在內(nèi)，可構(gòu)成一個集合S={ββ=α+

k·360°，

k∈Z}，即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整個周角的和.注意：⑴k∈Z

⑵α是任一角;

⑶終邊相同的角不一定相等，但相等的角終邊一定相同.終邊相同的角有無限個，它們相差

360°的整數(shù)倍;

⑷角α+k·720°與角α終邊相同，但不能表示與角α終邊相同的所有角.

例2.在0°到360°范圍內(nèi)，找出與下列各角終邊相等的角，并判斷它們是第幾象限角.

⑴-120°;

⑵640°;

⑶-950°12’.

答：⑴240°,第三象限角;

⑵280°,第四象限角;

⑶129°48’,第二象限角;

例4.寫出終邊在y軸上的角的集合(用0°到360°的角表示).解:{αα=90°+n·180°,n∈Z}.

例5.寫出終邊在y?x上的角的集合S,并把S中適合不等式-360°≤β<720°的元素β寫出來.

4.課堂小結(jié)

①角的定義;

②角的分類：

正角：按逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角零角：射線沒有任何旋轉(zhuǎn)形成的角

負角：按順時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角

③象限角;

④終邊相同的角的表示法.

5.課后作業(yè)：

①閱讀教材P2-P5;

②教材P5練習第1-5題;

③教材P.9習題1.1第1、2、3題思考題：已知α角是第三象限角，則2α，

解：??角屬于第三象限，

?k·360°+180°<α<k·360°+270°(k∈z)<p="">

因此，2k·360°+360°<2α<2k·360°+540°(k∈Z)即(2k+1)360°<2α<(2k+1)360°+180°(k∈Z)

故2α是第一、二象限或終邊在y軸的非負半軸上的角.又k·180°+90°<

各是第幾象限角?

<k·180°+135°(k∈z)p="".

<n·360°+135°(n∈z)p=""，

當k為偶數(shù)時，令k=2n(n∈Z)，則n·360°+90°<此時，

屬于第二象限角

<n·360°+315°(n∈z)p=""，

當k為奇數(shù)時，令k=2n+1(n∈Z)，則n·360°+270°<此時，

屬于第四象限角

因此

屬于第二或第四象限角.

1.1.2弧度制

(一)

教學目標

(二)知識與技能目標

理解弧度的意義;了解角的集合與實數(shù)集R之間的可建立起一一對應(yīng)的關(guān)系;熟記特殊角的弧度數(shù).

(三)過程與能力目標

能正確地進行弧度與角度之間的換算，能推導弧度制下的弧長公式及扇形的面積公式，并能運用公式解決一些實際問題

(四)情感與態(tài)度目標

通過新的度量角的單位制(弧度制)的引進，培養(yǎng)學生求異創(chuàng)新的精神;通過對弧度制與角度制下弧長公式、扇形面積公式的對比，讓學生感受弧長及扇形面積公式在弧度制下的簡潔美.教學重點

弧度的概念.弧長公式及扇形的面積公式的推導與證明.教學難點

“角度制”與“弧度制”的區(qū)別與聯(lián)系.

教學過程

一、復習角度制：

初中所學的角度制是怎樣規(guī)定角的度量的?規(guī)定把周角的作為1度的角,用度做單位來度量角的制度叫做角度制.

二、新課：

1.引入：

由角度制的定義我們知道,角度是用來度量角的,角度制的度量是60進制的,運用起來不太方便.在數(shù)學和其他許多科學研究中還要經(jīng)常用到另一種度量角的制度—弧度制，它是如何定義呢?

2.定義

我們規(guī)定,長度等于半徑的弧所對的圓心角叫做1弧度的角;用弧度來度量角的單位制叫做弧度制.在弧度制下,1弧度記做1rad.在實際運算中，常常將rad單位省略.

3.思考：

(1)一定大小的圓心角?所對應(yīng)的弧長與半徑的比值是否是確定的?與圓的半徑大小有關(guān)嗎?

(2)引導學生完成P6的探究并歸納：弧度制的性質(zhì)：

①半圓所對的圓心角為

②整圓所對的圓心角為

③正角的弧度數(shù)是一個正數(shù).

④負角的弧度數(shù)是一個負數(shù).

⑤零角的弧度數(shù)是零.

⑥角α的弧度數(shù)的絕對值α=.

4.角度與弧度之間的轉(zhuǎn)換：

①將角度化為弧度：

②將弧度化為角度：

5.常規(guī)寫法：

①用弧度數(shù)表示角時,常常把弧度數(shù)寫成多少π的形式,不必寫成小數(shù).

②弧度與角度不能混用.

弧長等于弧所對應(yīng)的圓心角(的弧度數(shù))的絕對值與半徑的積.

例1.把67°30’化成弧度.

例2.把?rad化成度.

例3.計算：

(1)sin4

(2)tan1.5.

8.課后作業(yè)：

①閱讀教材P6–P8;

②教材P9練習第1、2、3、6題;

③教材P10面7、8題及B2、3題.

數(shù)學高考教案篇7

《平面向量數(shù)量積》教學設(shè)計

案例名稱平面向量數(shù)量積的設(shè)計主備人組員課時3課時一、教材內(nèi)容分析平面向量數(shù)量積是人教版高一下冊第五章第六節(jié)內(nèi)容，本節(jié)課是以解決某些幾何問題、物理問題等的重要工具。學習本節(jié)要掌握好數(shù)量積的定義、公式和性質(zhì)，它是考查數(shù)學能力的一個結(jié)合點，可以構(gòu)建向量模型，解決函數(shù)、三角、數(shù)列、不等式、解析幾何、立體幾何中有關(guān)長度、角度、垂直、平行等問題，因此是高考命題中“在知識網(wǎng)絡(luò)處設(shè)計命題”的重要載體。二、教學目標(知識，技能，情感態(tài)度、價值觀)(一)知識與技能目標

1、知道平面向量數(shù)量積的定義的產(chǎn)生過程，掌握其定義，了解其幾何意義;

2、能夠由定義探究平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì);

3、能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直、共線關(guān)系

(二)過程與方法目標

(1)通過物理學中同學們已經(jīng)學習過的功的概念引導學生探究出數(shù)量積的定義并由定義探究性質(zhì);

(2)由功的物理意義導出數(shù)量積的幾何意義;

(三)情感、態(tài)度與價值觀目標

通過本節(jié)的自主性學習，讓學生嘗試數(shù)學研究的過程，培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)、提出、解決數(shù)學問題的能力，有助于發(fā)展學生的創(chuàng)新意識。

三、學習者特征分析學生已經(jīng)學習了有關(guān)向量的基本概念和基礎(chǔ)知識，同時也已經(jīng)具備一定的自學能力，多數(shù)同學對數(shù)學的學習有相當?shù)呐d趣和積極性。但在探究問題的能力、合作交流的意識等方面發(fā)展不夠均衡，尚有待加強。四、教學策略選擇與設(shè)計教法：觀察法、討論法、比較法、歸納法、啟發(fā)引導法。

學法：自主探究、合作交流、歸納總結(jié)。

教師與學生互動：學生自主探究，教師引導點撥。五、教學環(huán)境及資源準備三角尺六、教學過程教學過程教師活動學生活動設(shè)計意圖及資源準備

創(chuàng)設(shè)情景引入新課

問題1在物理學中，我們學過功的概念，如果給出力的大小和位移的大小能否求出功的大小?師】：提出學生已學過的問題設(shè)置疑問，激發(fā)學生興趣。

【生】：W=FScos讓學生復習已學過的物理知識激發(fā)學生興趣，并能夠分析此公式的形式。問題2在上述公式中的角是誰與誰的夾角?兩向量的夾角是如何定義的?【師】：提問角從而引出兩向量夾角的定義。

【生】：指出角是力與所發(fā)生的位移的夾角能夠通過物理學中功的概念及公式中夾角的定義，從而給出兩向量夾角的定義。

師生互動探索新知

1引出兩個向量的夾角的定義

定義：向量夾角的定義：設(shè)兩個非零向量a=OA與b=OB，稱∠AOB=為向量a與b的夾角，(00≤θ≤1800)。

(此概念可由老師用定義的方式向?qū)W生直接接示)

【師】：給出任意兩個向量由學生作出夾角并通過作圖引導學生歸納、總結(jié)出兩向量夾角的特征及各種特殊情況。

【生】：學生作圖，任意兩向量的夾角包括垂直，同向及反向的情況。

注：(1)當非零向量a與b同方向時，θ=00

(2)當a與b反方向時θ=1800(共線或平行時)

(3)0與其它非零向量不談夾角問題

(4)a⊥b時θ=900

(5)求兩向量夾角須將兩個向量平移至公共起點

實際應(yīng)用鞏固新知

1實際問題我能行

例1在三角形ABC中，∠ABC=450，BA與BC夾角是多少?BA與CB夾角呢?【生】：以四人為小組合作、交流。

數(shù)學高考教案篇8

古典概型

一、目標引領(lǐng)

1.理解隨機事件和古典概率的概念?.

2.會用列舉法計算一些隨機事件所含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率.

?重點及難點

重點是求隨機事件的概率，難點是如何判斷一個隨機事件是否是古典概型，搞清隨機事件所包含的基本事件的個數(shù)及其總數(shù).

?二、自學探究

在課前，教師布置任務(wù)，以數(shù)學小組為單位，完成下面兩個模擬試驗，

試驗一：拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，分別記錄“正面朝上”和“反面朝上”的次數(shù)，要求每個數(shù)學小組至少完成30次(最好是整十數(shù))，最后由課代表匯總.

試驗二：拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，分別記錄“1點”、“2點”、“3點”、“4點”、“5點”和“6點”的次數(shù)，要求每個數(shù)學小組至少完成30次，最后由課代表匯總.

三、合作交流

在我們所做的每個實驗中，有幾個結(jié)果，每個結(jié)果出現(xiàn)的概率是多少?

學生回答：

在試驗一中結(jié)果只有兩個，即“正面朝上”和“反面朝上”，并且他們都是相互獨立的，由于硬幣質(zhì)地是均勻的，因此出現(xiàn)兩種結(jié)果的可能性相等，即它們的概率都是.

在試驗二中結(jié)果有六個，即“1點”、“2點”、“3點”、“4點”、“5點”和“6點”，并且他們都是相互獨立的，由于骰子質(zhì)地是均勻的，因此出現(xiàn)六種結(jié)果可能性相等，即它們的概率都是.

引入新的概念：

基本事件：我們把試驗可能出現(xiàn)的結(jié)果叫做基本事件.

古典概率：把具有以下兩個特點的概率模型叫做古典概率.

(1)一次試驗所有的基本事件只有有限個.

例如試驗一中只有“正面朝上”和“反面朝上”兩種結(jié)果，即有兩個基本事件.試驗二中結(jié)果有六個，即有六個基本事件.

(2)每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等.

試驗一和試驗二其基本事件出現(xiàn)的可能性均相同.

隨機現(xiàn)象：對于在一定條件下可能出現(xiàn)也可能不能出現(xiàn)，且有統(tǒng)計規(guī)律性的現(xiàn)象叫做隨機現(xiàn)象.試驗一拋擲硬幣的游戲中，可能出現(xiàn)“正面朝上”也可能出現(xiàn)“反面朝上”，這就是隨機現(xiàn)象.

隨機事件：在概率論中，擲骰子、轉(zhuǎn)硬幣……都叫做試驗，試驗的結(jié)果叫做隨機事件.例如擲骰子的結(jié)果中“是偶數(shù)”、“是奇數(shù)”、“大于2”等等都是隨機事件.隨機事件“是偶數(shù)”就是由基本事件“2點”、“4點”、“6點”構(gòu)成.隨機事件一般用大寫英文字母A、B等來表示.

必然事件：試驗后必定出現(xiàn)的事件叫做必然事件，記作.例如擲骰子的結(jié)果中“都是整數(shù)”、“都大于0”等都是必然事件.

不可能事件：實驗中不可能出現(xiàn)的事件叫做不可能事件，

基本事件有如下的兩個特點：

(1)任何兩個基本事件是互斥的;(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.

四、精講點撥

例1：從字母a、b、c、d任意取出兩個不同字母的試驗中，有哪些基本事件?

解：有ab，ac，ad，bc，bd，cd.

例2：(1)向一個圓面內(nèi)隨機地投射一個點，如果該點落在圓內(nèi)任意一點都是等可能的，你認為這是古典概率嗎?為什么?

答：不是古典概型，因為試驗的所有可能結(jié)果是圓面內(nèi)所有的點，試驗的所有可能結(jié)果數(shù)是無限的，雖然每一個試驗結(jié)果出現(xiàn)的“可能性相同”，但這個試驗不滿足古典概率的第一個條件.

數(shù)學高考教案篇9

課題古典概型課型高一新授課教學目標理解古典概型及其概率計算公式，并能計算有關(guān)隨機事件的概率教學重點理解古典概型的概念及利用古典概型求解隨機事件的概率。教學難點如何判斷一個試驗是否為古典概型，弄清在一個古典概型中某隨機事件包含的基本事件的個數(shù)和試驗中基本事件的總數(shù)。教學方法導學式、啟發(fā)式教學教具多媒體輔助教學過程教學內(nèi)容與教師活動學生活動設(shè)計意圖

創(chuàng)設(shè)情境引出課題

問題1：考察兩個試驗：

(1)拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣的試驗;

(2)擲一顆質(zhì)地均勻的骰子的試驗。

問：在這兩個試驗中，可能的結(jié)果分別有哪些?

教師引導學生思考問題1：學生思考結(jié)果且給出基本事件的特點1

問題1設(shè)計意圖：通過擲硬幣與擲骰子兩個接近于生活的試驗的設(shè)計。先激發(fā)學生的學習興趣，然后引導學生觀察試驗，分析結(jié)果，找出共性。

問題2：在擲骰子試驗中，隨機試驗“出現(xiàn)偶數(shù)點”可以由哪些事件組成?教師引導學生思考問題2：學生歸納與總結(jié)，問題2設(shè)計意圖：通過舉例，引出基本事件的特點2。問題3：基本事件有什么特點?

教師加以引導與啟發(fā)，利用基本事件的關(guān)系發(fā)現(xiàn)基本事件的特點問題3：學生口答問題3設(shè)計意圖：提高學生概括總結(jié)能力問題4：例1、從字母a，b，c，d中任意取出兩個不同字母的實驗中，有那些基本事件?教師引導學生列舉時做到不重復、不遺漏，教師指出畫樹狀圖是列舉法的基本方法。

問題4：學生列舉出基本事件。問題4引導學生用列舉法列舉基本事件的個數(shù)，不僅能讓學生直觀的感受到研究對象的總數(shù)，而且還能使學生在列舉的時候作到不重不漏。解決了求古典概型中基本事件總數(shù)這一難點

通過設(shè)疑引出概念

問題1：(1)請問擲一枚均勻硬幣出現(xiàn)正面朝上的概率是多少?

(2)擲一枚均勻的骰子各種點數(shù)向上的概率是多少?其中出現(xiàn)偶數(shù)點向上的概率是多少?讓學生帶著好奇心去觀察數(shù)學模型，老師啟發(fā)引導學生推導公式。

問題1學生得到答案且深層次的考慮問題

問題1設(shè)計意圖：學生根據(jù)已有的知識，已經(jīng)可以獨立得出概率，通過教師的步步追問，引導學生深層次的考慮問題，看到問題的本質(zhì)，得出概率公式。讓學生帶著思考問題觀察試驗，使其有目的的去尋找答案，有效的利用課堂時間，達到教學目標。

問題2：上述概率公式的推導過程中基本事件有什么特點?教師引導學生找出共性。具有下列兩個特點的概率模型才能運用上述公式，我們稱為古典概率模型，簡稱古典概型。

(1)試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個;(有限性)

(2)每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等。(等可能性)問題2學生觀察和初步概括歸納古典概率模型及特征

問題2設(shè)計意圖培養(yǎng)運用從特殊到一般，從具體到抽象數(shù)學思想。啟發(fā)誘導的同時，訓練了學生觀察和概括歸納的能力。通過問題的解決引出古典概型的概念。

問題3：(1)向一個圓面內(nèi)隨機地投射一個點，如果該點落在圓內(nèi)任意一點都是等可能的，你認為這是古典概型嗎?為什么?

(2)某同學隨機地向一靶心進行射擊，這一試驗的結(jié)果只有有限個：命中10環(huán)、命中9環(huán)……命中5環(huán)和不中環(huán)。你認為這是古典概型嗎?為什么?問題3學生互相交流，回答補充得到的答案問題3設(shè)計意圖：兩個問題的設(shè)計是為了讓學生更加準確的把握古典概型的兩個特點。突破了如何判斷一個試驗是否是古典概型這一教學難點。

例題分析加深理例題分析加深理

例2、在數(shù)學考試中單選題是常用的題型，一般是從A，B，C，D四個選項中選擇一個正確答案。假設(shè)考生不會做，他隨機的選擇一個答案，問他答對的概率是多少?

教師引導學生思考是否滿足古典概型的特征?教師對學生的回答進行歸納與總結(jié)

例2學生思考、討論、交流，說出看法

例2設(shè)計意圖：通過例題的學習讓學生學會對古典概型的判斷，就是看是否滿足古典概型的兩個基本特征：有限性與等可能性，由此掌握求此類題目的方法，讓學生進一步理解古典概型的概率計算公式。

變式：假設(shè)我們現(xiàn)在將單選題改為不定項選擇題，不定項選擇題從A、B、C、D四個選項中選出所有正確答案，假設(shè)還是這名考生，他隨機的選擇一個答案，他猜對的概率是多少

教師引導學生列舉15種可能出現(xiàn)的答案，判斷是否滿足古典概型的特征，利用概率公式求值。變式：學生在老師的引導下列舉15種可能出現(xiàn)的答案，并且判斷是否滿足古典概型的特征，利用概率公式求值。變式設(shè)計意圖：讓學生感受到數(shù)學模型的生活化，能用所學知識解決新問題是數(shù)學學習的主旨。當學生用自己的知識解決問題后，會有極大的成就感，提高了學習興趣。

例3、同時擲兩個骰子，計算：(1)一共有多少種不同的結(jié)果?

(2)其中向上的點數(shù)之和是5的結(jié)果有多少種?

(3)向上的點數(shù)之和是5的概率是多少?

教師將學生的結(jié)果匯總展示，學生給出的答案可能會有多種，然后引導學生分析原因，尋找解答中存在的問題。其中這兩種答案分別對應(yīng)了解題中的兩種處理方法：把骰子標號進行解題和不標號進行解題，可以提示學生先把這兩種方法下的基本事件全部列出來，然后驗證是否為古典概型。

教師分析兩種方式中每個基本事件的等可能性，引導學生發(fā)現(xiàn)在第二種情況下每個基本事件不是等可能的，不是古典概型，因此不能用古典概型計算公式。

例3學生思考、討論，列出兩種方法下的基本事件，發(fā)現(xiàn)基本事件的總數(shù)不相等，學生發(fā)現(xiàn)在第二種情況下每個基本事件不是等可能的，不是古典概型，因此不能用古典概型計算公式

例3設(shè)計意圖：引導學生根據(jù)古典概型的特征，用列舉法解決概率問題。深化鞏固對古典概型及其概率計算公式的理解，和用列舉法來計算一些隨機事件所含基本事件的個數(shù)及事件發(fā)生的概率。培養(yǎng)學生運用數(shù)形結(jié)合的思想，提高發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力，增強學生數(shù)學思維情趣，形成學習數(shù)學知識的積極態(tài)度。

數(shù)學高考教案篇10

正弦定理

一教材分析

本節(jié)知識是必修五第一章《解三角形》的第一節(jié)內(nèi)容，與初中學習的三角形的邊和角的基本關(guān)系有密切的聯(lián)系與判定三角形的全等也有密切聯(lián)系，在日常生活和工業(yè)生產(chǎn)中也時常有解三角形的問題，而且解三角形和三角函數(shù)聯(lián)系在高考當中也時常考一些解答題。因此，正弦定理和余弦定理的知識非常重要。

根據(jù)上述教材內(nèi)容分析，考慮到學生已有的認知結(jié)構(gòu)心理特征及原有知識水平，制定如下教學目標：

認知目標：在創(chuàng)設(shè)的問題情境中，引導學生發(fā)現(xiàn)正弦定理的內(nèi)容，推證正弦定理及簡單運用正弦定理與三角形的內(nèi)角和定理解斜三角形的兩類問題。

能力目標：引導學生通過觀察，推導，比較，由特殊到一般歸納出正弦定理，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識和觀察與邏輯思維能力，能體會用向量作為數(shù)形結(jié)合的工具，將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題。

情感目標：面向全體學生，創(chuàng)造平等的教學氛圍，通過學生之間、師生之間的交流、合作和評價，調(diào)動學生的主動性和積極性，給學生成功的體驗，激發(fā)學生學習的興趣。

教學重點：正弦定理的內(nèi)容，正弦定理的證明及基本應(yīng)用。

教學難點：正弦定理的探索及證明，已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時判斷解的個數(shù)。

二教法

根據(jù)教材的內(nèi)容和編排的特點，為是更有效地突出重點，空破難點，以學業(yè)生的發(fā)展為本，遵照學生的認識規(guī)律，本講遵照以教師為主導，以學生為主體，訓練為主線的指導思想，采用探究式課堂教學模式，即在教學過程中，在教師的啟發(fā)引導下，以學生獨立自主和合作交流為前提，以“正弦定理的發(fā)現(xiàn)”為基本探究內(nèi)容，以生活實際為參照對象，讓學生的思維由問題開始，到猜想的得出，猜想的探究，定理的推導，并逐步得到深化。突破重點的手段：抓住學生情感的興奮點，激發(fā)他們的興趣，鼓勵學生大膽猜想，積極探索，以及及時地鼓勵，使他們知難而進。另外，抓知識選擇的切入點，從學生原有的認知水平和所需的知識特點入手，教師在學生主體下給以適當?shù)奶崾竞椭笇АＭ黄齐y點的方法：抓住學生的能力線聯(lián)系方法與技能使學生較易證明正弦定理，另外通過例題和練習來突破難點

三學法：

指導學生掌握“觀察——猜想——證明——應(yīng)用”這一思維方法，采取個人、小組、集體等多種解難釋疑的嘗試活動，將自己所學知識應(yīng)用于對任意三角形性質(zhì)的探究。讓學生在問題情景中學習，觀察，類比，思考，探究，概括，動手嘗試相結(jié)合，體現(xiàn)學生的主體地位，增強學生由特殊到一般的數(shù)學思維能力，形成了實事求是的科學態(tài)度，增強了鍥而不舍的求學精神。

四教學過程

第一：創(chuàng)設(shè)情景，大概用2分鐘

第二：實踐探究，形成概念，大約用25分鐘

第三：應(yīng)用概念，拓展反思，大約用13分鐘

(一)創(chuàng)設(shè)情境，布疑激趣

“興趣是的老師”，如果一節(jié)課有個好的開頭，那就意味著成功了一半，本節(jié)課由一個實際問題引入，“工人師傅的一個三角形的模型壞了，只剩下如右圖所示的部分，∠A=47°,∠B=53°,AB長為1m,想修好這個零件，但他不知道AC和BC的長度是多少好去截料，你能幫師傅這個忙嗎?”激發(fā)學生幫助別人的熱情和學習的興趣，從而進入今天的學習課題。

(二)探尋特例，提出猜想

1.激發(fā)學生思維，從自身熟悉的特例(直角三角形)入手進行研究，發(fā)現(xiàn)正弦定理。

2.那結(jié)論對任意三角形都適用嗎?指導學生分小組用刻度尺、量角器、計算器等工具對一般三角形進行驗證。

3.讓學生總結(jié)實驗結(jié)果，得出猜想：

在三角形中，角與所對的邊滿足關(guān)系

這為下一步證明樹立信心，不斷的使學生對結(jié)論的認識從感性逐步上升到理性。

(三)邏輯推理，證明猜想

1.強調(diào)將猜想轉(zhuǎn)化為定理，需要嚴格的理論證明。

2.鼓勵學生通過作高轉(zhuǎn)化為熟悉的直角三角形進行證明。

3.提示學生思考哪些知識能把長度和三角函數(shù)聯(lián)系起來，繼而思考向量分析層面，用數(shù)量積作為工具證明定理，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想。

4.思考是否還有其他的方法來證明正弦定理，布置課后練習，提示，做三角形的外接圓構(gòu)造直角三角形，或用坐標法來證明

(四)歸納總結(jié)，簡單應(yīng)用

1.讓學生用文字敘述正弦定理，引導學生發(fā)現(xiàn)定理具有對稱和諧美，提升對數(shù)學美的享受。

2.正弦定理的內(nèi)容，討論可以解決哪幾類有關(guān)三角形的問題。

3.運用正弦定理求解本節(jié)課引入的三角形零件邊長的問題。自己參與實際問題的解決，能激發(fā)學生知識后用于實際的價值觀。

(五)講解例題，鞏固定理

1.例1。在△ABC中，已知A=32°,B=81.8°,a=42.9cm.解三角形.

例1簡單，結(jié)果為解，如果已知三角形兩角兩角所夾的邊，以及已知兩角和其中一角的對邊，都可利用正弦定理來解三角形。

2.例2.在△ABC中,已知a=20cm,b=28cm,A=40°,解三角形.

例2較難，使學生明確，利用正弦定理求角有兩種可能。要求學生熟悉掌握已知兩邊和其中一邊的對角時解三角形的各種情形。完了把時間交給學生。

(六)課堂練習，提高鞏固

1.在△ABC中,已知下列條件,解三角形.

(1)A=45°,C=30°,c=10cm

(2)A=60°,B=45°,c=20cm

2.在△ABC中,已知下列條件,解三角形.

(1)a=20cm,b=11cm,B=30°

(2)c=54cm,b=39cm,C=115°

學生板演，老師巡視，及時發(fā)現(xiàn)問題，并解答。

(七)小結(jié)反思，提高認識

通過以上的研究過程，同學們主要學到了那些知識和方法?你對此有何體會?

1.用向量證明了正弦定理，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想。

2.它表述了三角形的邊與對角的正弦值的關(guān)系。

3.定理證明分別從直角、銳角、鈍角出發(fā)，運用分類討論的思想。

(從實際問題出發(fā)，通過猜想、實驗、歸納等思維方法，最后得到了推導出正弦定理。我們研究問題的突出特點是從特殊到一般，我們不僅收獲著結(jié)論，而且整個探索過程我們也掌握了研究問題的一般方法。在強調(diào)研究性學習方法，注重學生的主體地位，調(diào)動學生積極性，使數(shù)學教學成為數(shù)學活動的教學。)

(八)任務(wù)后延，自主探究

如果已知一個三角形的兩邊及其夾角，要求第三邊，怎么辦?發(fā)現(xiàn)正弦定理不適用了，那么自然過渡到下一節(jié)內(nèi)容，余弦定理。布置作業(yè)，預習下一節(jié)內(nèi)容。